概率论与数理统计核心公式详解

"概率论与数理统计公式" 概率论与数理统计是统计学和数据分析领域的基础，它涉及到对不确定性和随机现象的研究。以下是一些关键概念和公式： 1. 随机事件及其概率： - 吸收律：如果事件A包含事件B，并且B发生后A必定发生，那么P(A|B) = P(A)。 - 反演律：对于事件A和它的补事件Ac，有P(Ac|B) = 1 - P(A|B)。 2. 概率的定义和计算： - 概率的定义：如果事件A发生的可能性在0到1之间，那么P(A)表示A的概率。 - 加法公式：如果事件A和B互斥，即A和B不能同时发生，那么P(A∪B) = P(A) + P(B)。 3. 条件概率： - 条件概率公式：P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，其计算公式为P(A|B) = P(AB) / P(B)。 - 乘法公式：P(AB) = P(A|B) * P(B)。 - 全概率公式：通过所有可能的情况来计算一个事件的概率，P(A) = ∑[P(Bi)*P(A|Bi)]，其中Bi是样本空间的划分。 - Bayes公式：P(Bi|A) = [P(A|Bi)*P(Bi)] / P(A)，用于逆向概率推理。 4. 随机变量及其分布： - 分布函数：描述随机变量取值的概率分布。 - 离散型随机变量： - 0-1分布：只有两种可能的结果，0和1。 - 二项分布：n次独立重复试验，每次成功概率为p，记为B(n, p)。 - 泊松分布：Poisson(λ)，表示单位时间或空间内发生某事件的次数，λ为平均发生次数。 - 连续型随机变量： - 均匀分布：在[a, b]区间上均匀分布，概率密度函数为f(x) = 1/(b-a)。 - 指数分布：表示等待时间的分布，记为Exp(λ)，概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)。 - 正态分布：N(μ, σ²)，μ是均值，σ²是方差，N(0,1)是标准正态分布。 5. 多维随机变量： - 二维随机变量(X,Y)的分布函数，边缘分布函数和边缘密度函数。 - 二维正态分布：(X,Y) ~ N(μ1, μ2, σ1², σ2², ρ)，其中μ1, μ2是均值，σ1², σ2²是方差，ρ是相关系数。 6. 条件分布： - 给定另一个随机变量的条件下，随机变量的分布。 7. 随机变量的数字特征： - 数学期望E(X)：随机变量X的平均值。 - 方差D(X) = E((X - E(X))^2)：衡量随机变量波动程度的度量。 - 协方差Cov(X, Y)：衡量两个随机变量共同变化的程度。 - 相关系数ρ(X, Y)：协方差与各自标准差的比值，范围在-1到1之间，表示线性相关性。 这些公式构成了概率论与数理统计的基础，对于理解和应用统计学方法至关重要，如假设检验、回归分析、预测模型等。掌握这些概念和公式，能够帮助我们更好地理解和解释现实世界中的随机现象。