小波变换下的二维泊松方程求解方法探讨

本文档《SOLUTION OF 1D AND 2D POISSON'S EQUATION BY USING WAVELET SCALING FUNCTIONS》主要探讨了在热能工程领域（Thermal Engineering）如何利用小波变换技术解决一维和二维泊松方程（Poisson's Equation）。泊松方程是物理学中常见的偏微分方程，它在许多工程问题中扮演着核心角色，如电磁学、流体动力学和热传导等。 小波分析是一种多分辨率方法，它将信号分解为不同尺度和频率的组成部分，这种特性使得它在数值解算复杂问题时具有显著优势。文中提到的波浪函数（wavelet scaling functions），如Daubechies和Deslauriers-Dubuc函数，以其紧凑支持、正交性和局部化的特性而备受青睐。这两种函数被成功应用于数值求解策略，例如波浪加权 Galerkin 方法（Wavelet-Galerkin Method, WGM）和波浪有限元方法（Wavelet Finite Element Method, WFEM）。 波浪加权 Galerkin 方法是一种基于泛函空间理论的方法，它利用小波基函数来构建有限元空间，然后通过插值和投影操作将泊松方程转化为线性代数问题。这种方法在保留原问题局部特性的同时，能够提供高效且精确的数值解。 波浪有限元方法则是将传统的有限元方法与小波理论相结合，每个有限元区域被分解为多个子区域，每个子区域使用小波基函数进行逼近。这有助于减少计算量，提高求解效率，并且在处理边界条件和局部特征时表现出良好的适应性。 通过使用小波变换和波浪函数作为基础，文章详细介绍了求解过程中的关键步骤，包括离散化、矩阵构造、迭代算法以及误差分析。此外，文中还可能涉及了对不同尺度和层次的处理，因为小波方法强调了从全局到局部的分析和解构。 总结来说，本文研究的核心内容是利用小波变换及其特定函数形式，提出了一种有效的数值求解策略，以求解一维和二维泊松方程，这种方法在实际工程应用中显示出了优越的性能和潜力。对于热能工程师和数值分析师来说，理解和掌握这一技术有助于他们在解决复杂热传导问题时提升精度和效率。