最小二乘法：超定方程组求解与曲线拟合实例

线性最小二乘法是一种常用的统计学方法，用于在数据拟合和回归分析中找到最佳拟合直线或曲线，即使数据点并不完全落在理想函数上。在超定方程组的背景下，当我们有更多未知数（比如拟合参数）比方程多的情况，即\( n \)个数据点去拟合\( m \)个参数（\( n > m \)），线性最小二乘法提供了一种求解最优解的方法。 在给定的实验内容中，主要涉及到两个实例来说明线性最小二乘法的应用。第一个实例是关于温度与电阻的关系，通过给定一组温度对应的电阻值，我们试图找到一条直线 \( R = at + b \) 来表示在特定温度下电阻的估计。这里，\( a \) 和 \( b \) 是待求的线性参数，通过矩阵运算求解线性方程组 \( (RTR)a = RTy \)，当 \( RTR \) 可逆时，最小二乘解就是 \( a = (RTR)^{-1}RTy \)。 第二个实例是关于血药浓度随时间变化的拟合问题，数据点表示快速静脉注射后的血药浓度与时间的关系。通过半对数坐标系，我们使用线性最小二乘法寻找一个函数来描述这种变化趋势，这里的函数形式可能并非简单的线性关系，但最小二乘法仍然适用于找到最佳拟合。 线性最小二乘法的关键在于选择一个合适的函数形式（如线性、多项式等），并通过优化距离平方和（通常定义为 \( \sum_i (y_i - f(x_i))^2 \)）来找到使数据点与函数距离之和最小的参数。这种方法不仅适用于线性函数，也可以扩展到其他函数类型，例如多项式、指数或对数函数等，只需调整相应的函数表达式。 此外，实验内容还强调了拟合与插值的区别。插值是在已知数据点上找到精确的函数，确保函数通过每个数据点；而拟合则更关注反映数据的整体趋势，允许误差。给出的实例展示了如何通过 MATLAB 等数学软件进行曲线拟合和插值，以及最临近插值、线性插值和样条插值的不同表现和应用场景。 线性最小二乘法在处理实际问题中具有重要的作用，它简化了复杂的函数拟合过程，使得数据科学家能够快速找到数据与其潜在规律的接近程度最高的函数。理解并熟练运用这种方法对于数据处理和分析至关重要。