直接法解线性方程组：高斯消元与三角分解

本篇文档讲述了在计算实习课程中关于解线性方程组的直接法，特别是针对n阶线性代数方程组的求解策略。首先，作者假设系数行列式非零，确保了方程组有唯一的解，这是通过克莱姆法则来确定的，这是一种理论上直接但实际操作中可能因高阶运算量大而难以应用的方法。 直接法指的是在理想情况下，通过有限次算术运算能得到精确解的算法。在实践中，常用的直接求解方法包括高斯消元法和三角分解法。这两种方法在计算机科学中非常实用，特别是对于矩阵操作，它们能够有效地简化复杂的问题。 高斯消元法是一种基础的求解线性方程组的方法，通过一系列行变换将原方程组转化为上三角或下三角形式，使得求解过程变得直观。上三角方程组（即对角线以上元素全为零的矩阵）的解可以通过回代过程实现：从最后一行开始逐个解出未知数，然后逐步向前推进，直到得到所有未知数的值。 三角分解法则涉及将矩阵分解成两个三角矩阵的乘积，这样可以方便地进行求解。上三角形方程组和下三角形方程组都是三角分解法的一部分，它们是线性方程组中最简单的类型，其求解步骤明确且易于理解。 然而，实际应用中必须考虑的是舍入误差，尤其是在计算机执行过程中，由于浮点数运算的精度限制，可能导致解的微小偏差。文档中提到，尽管克莱姆法则在理论上可行，但在处理大规模或高阶方程组时，由于计算复杂度问题，可能不是最佳选择。 总结来说，本讲重点介绍了直接法中的高斯消元法和三角分解法在解决线性方程组中的应用，强调了解决步骤，并提到了舍入误差对求解结果的影响，这对于理解和实践线性代数中的基本算法具有重要意义。