Dijkstra算法详解：寻找图的最短路径

"该资源是一份关于图论中Dijkstra算法的PPT，主要涵盖了图的基本概念、存储、遍历、最小生成树、最短路径、拓扑排序、关键路径以及图的应用。其中，重点讲解了Dijkstra算法的基本思想，即通过不断更新最短路径来寻找从源点到所有其他顶点的最短路径。" Dijkstra算法是图论中的经典算法之一，用于寻找带权重的无向图中从源点到所有其他顶点的最短路径。该算法的核心思想是基于贪心策略，每次选取当前未确定最短路径的顶点集合中距离源点最近的顶点，并更新与之相邻的顶点的最短路径。 1. 图的基本概念：图是由顶点集V和边集E组成的，记为G=(V,E)，其中V是非空有限集，E是V中顶点对的集合。根据边的方向，图分为无向图和有向图。无向图的边是顶点对，没有方向；有向图的边是有序顶点对，有方向。如果边有与之相关的数值（如距离或耗费），则称该图为带权图。 2. Dijkstra算法步骤： - 初始化：创建两个集合S和V-S，S存放已确定最短路径的顶点，初始时只包含源点s；V-S包含剩余所有顶点。用数组D记录从源点s到每个顶点的最短路径长度，所有顶点的初始值设为无穷大，源点s设为0。 - 迭代过程：在V-S中选择具有最小D值的顶点u，将其加入S，然后更新与u相邻且在V-S中的顶点的D值，如果新路径长度小于原D值，则进行更新。 - 重复上述步骤，直到所有顶点都加入S，此时D数组记录的就是源点s到所有顶点的最短路径长度。 3. 图的其他相关概念： - 最小生成树：在带权无向图中，寻找一棵包括所有顶点的树，使得树的所有边权重之和最小。 - 拓扑排序：对于有向无环图(DAG)，将顶点按照没有前驱或后继的顺序排列。 - 关键路径：在项目管理中，从起始事件到结束事件的最长路径，决定了项目的最短完成时间。 4. 图的遍历：包括深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)，用于访问图中所有顶点。DFS利用栈实现，BFS利用队列实现，它们各有优缺点，在不同场景下有不同的应用。 5. 图的应用广泛，例如在网络路由、社交网络分析、物流路线规划、最优化问题等领域都有重要作用。 Dijkstra算法在实际问题中非常实用，尤其在网络通信中寻找最短路径。然而，它不适用于存在负权边的图，因为负权边可能导致算法在更新路径时无法得到全局最优解。对于这类问题，通常需要使用其他算法，如Bellman-Ford算法。