北航数值分析大作业：求解特征值与谱范数

"北航数值分析课程的一次大作业，主要涉及实对称带状矩阵的特征值计算，包括最大、最小特征值以及按模最小的特征值，同时还要求计算矩阵的谱范数、条件数和行列式。作业中采用了初始化、幂法、反幂法和Doolittle分解等算法。" 这篇作业主要涵盖了数值分析中的多个核心知识点： 1. **特征值与特征向量**：特征值是线性代数中的基础概念，对于实对称矩阵，其特征值都是实数且可以通过对角化实现。在这个作业中，需要求解501x501的实对称带状矩阵A的最小和最大特征值。通常，这可以通过幂法或反幂法来实现。 2. **幂法（Power Method）**：幂法是一种快速求解矩阵最大模特征值的迭代方法。在这个作业中，首先使用幂法找到矩阵A的最大特征值λ1。 3. **原点平移法**：为了寻找最小特征值，可以通过将矩阵平移λ1（最大特征值）来实现，新矩阵的最小特征值将变为原始矩阵的次大特征值。如果λ1<λ501，那么λ1和λ501就是我们要找的最小和最大特征值。 4. **反幂法（Inverse Power Method）**：在原点平移后，可以使用反幂法找到按模最小的特征值lambdas。反幂法是幂法的一种变形，特别适用于求解最小模的特征值。 5. **Doolittle分解**：Doolittle分解是LU分解的一种形式，用于将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U。在这个作业中，Doolittle分解被用来解决501x501矩阵的条件数和行列式问题。第1,2及500,501行的特殊处理可能是因为边界效应。 6. **条件数（Condition Number）**：条件数衡量了矩阵A对计算的稳定性。在本例中，条件数Cond(A)2表示矩阵A的条件数的平方，它通过计算A的范数与A的逆矩阵的范数之比来获得。 7. **谱范数（Spectral Norm）**：谱范数是矩阵的特征值中最大绝对值，可以用来评估矩阵的放大因子，即矩阵作用于向量时，向量长度的可能最大变化。 8. **行列式（Determinant）**：行列式表示矩阵的特性，对于方阵，它的值反映了矩阵是否可逆。在这个作业中，通过Doolittle分解计算矩阵A的行列式detA。 9. **迭代计算**：除了求解最小和最大特征值外，还需要找到39个最接近特定值mu(k)的特征值。这通常涉及到多次使用带位移的反幂法。 源代码中定义了几个关键函数，如`assign()`用于矩阵初始化，`powerMethod()`和`inversePowerMethod()`分别用于幂法和反幂法的实现，`doolittle()`用于Doolittle分解，而`det_A()`用于计算行列式。这些函数的实现是解决问题的关键步骤。 通过这个作业，学生能够深入理解和实践数值线性代数中的重要算法，这对理解和解决实际工程问题非常有益。同时，作业也强调了编程实现和误差控制，通过设定误差常量ACCURACY来判断迭代是否达到收敛标准。