中缀表达式计算：栈的应用详解

"这篇资料主要介绍了栈在计算中缀表达式值时的应用，以及与最大堆、排序相关的数据结构与算法知识。它适用于软件学院09级本科生2010-2011秋季学期学习，课程内容包括栈、队列、栈与递归、队列的应用等。资料中提到了栈的特性是先进后出（FILO）或后进先出（LIFO），并详细阐述了栈的基本操作如清空、判断空栈、压入、弹出和查看栈顶元素。此外，还介绍了顺序和链式方式来实现栈，并给出了顺序栈的类定义。" 本文将详细解析如何利用栈计算中缀表达式的值，同时探讨数据结构与算法中的栈和队列。 中缀表达式是一种常见的数学表达式形式，例如"3 × (7-2)"。为了计算这样的表达式，我们可以使用两个栈：一个用于存储操作数（OPND栈），另一个用于存储操作符（OPTR栈）。计算过程如下： 1. 从左到右扫描表达式。遇到数字时，将其压入OPND栈；遇到操作符时，将其压入OPTR栈，除非栈顶的操作符优先级更高或者栈为空。 2. 当遇到左括号 '(' 时，将其压入OPTR栈。 3. 当遇到右括号 ')' 时，开始执行操作。不断地弹出OPTR栈顶的操作符，与OPND栈顶的操作数进行运算，直到遇到左括号为止。然后将结果压回OPND栈。 4. 重复步骤1-3，直到扫描完整个表达式。 5. 最后，OPND栈顶的元素就是中缀表达式的值。 在描述中给出的例子 "# 3 × (7-2) #" 中，执行过程如下： - 数字 0 和 1 先不处理，因为它们是操作数，等待后续操作。 - 遇到操作符 '('，压入 OPTR 栈。 - 接下来是数字 7，压入 OPND 栈。 - 数字 5 同样压入 OPND 栈。 - 操作符 '^' 优先级高于栈顶的 '*'，所以 '^' 压入 OPTR 栈。 - 再来是数字 3，压入 OPND 栈。 - 当遇到 '-' 时，'(' 优先级低于 '-'，所以弹出 '('，然后依次弹出栈中的操作数 5 和 7 进行减法运算，结果 2 压回 OPND 栈。 - 然后是数字 8，压入 OPND 标签。 - 最后是操作符 '*'，由于 '*' 的优先级高于 '+'，所以 '*'-1 压入 OPTR 栈。 - 表达式结束，此时OPND栈顶的元素8就是最终结果。 在数据结构中，最大堆通常用于实现优先队列，可以快速找到最大元素。排序算法中，堆排序利用了最大堆的性质，能够在O(n log n)的时间复杂度内完成排序。而栈在排序算法中也有应用，例如在回溯法搜索过程中，用于保存当前状态。 总结来说，栈在计算中缀表达式值时起到了关键作用，通过维护操作数和操作符栈，能够有效地按照运算优先级进行计算。同时，数据结构如栈和队列是算法设计的基础，它们的不同特性使得它们在各种问题解决中都有广泛应用。