Matlab多元线性回归分析与拟合

"该资源为Matlab线性回归(拟合)的PDF文档，主要探讨了如何在Matlab中进行线性回归分析，包括多元线性回归模型的设定、计算方法及非线性拟合的应用。" 在Matlab中，线性回归是一种常用的数据分析工具，用于研究两个或多个变量之间的关系。当我们要研究的变量间的关系可以近似表示为线性时，线性回归模型就显得尤为重要。对于多元线性回归模型，其基本形式可以表示为： \[ y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \ldots + \beta_px_p + e \] 其中，\( y \) 是因变量，\( x_1, x_2, \ldots, x_p \) 是自变量，\( \beta_0, \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_p \) 是待估计的参数，\( e \) 表示随机误差项。对于n组观测值 \( (x_{i1}, x_{i2}, \ldots, x_{ip}, y_i) \) （\( i = 1, 2, \ldots, n \)），我们可以利用最小二乘法来估计这些参数。最小二乘法的估计公式为： \[ \hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^Ty \] 这里的 \( X \) 是一个 \( n \times (p+1) \) 的设计矩阵，包含常数项1和自变量的观测值，\( y \) 是一个 \( n \) 维的响应向量。 Matlab 提供了 `regress` 函数来执行多元线性回归分析。基本调用格式如下： \[ b = regress(y, x) \] 这将返回一个 \( p+1 \) 维的向量 \( b \)，其中包含了 \( \beta \) 参数的估计值。此外，`regress` 函数还可以提供更多的统计信息，例如： \[ [b, bint, r, rint, stats] = regress(y, x) \] 这将返回回归系数的95%置信区间（\( bint \)）、残差 \( r \) 及其95%置信区间（\( rint \)），以及统计信息向量 \( stats \)，其中包含了决定系数 \( R^2 \)、F统计量和对应的显著性水平。 除了线性回归，Matlab 也支持非线性拟合。例如，可以通过 `nlinfit` 函数来拟合非线性模型。基本使用方法如下： \[ \beta = nlinfit(X, y, fun, \beta0) \] 这里，\( X \) 和 \( y \) 分别代表自变量和因变量的数据，\( fun \) 是定义非线性模型的函数句柄或内联函数，\( \beta0 \) 是模型参数的初始估计值。`nlinfit` 函数会返回优化后的参数估计值 \( \beta \)。 在实际应用中，我们不仅关注模型的拟合程度，还会对各个自变量的显著性进行检验。如果某个自变量 \( x_i \) 对应的 \( \beta_i \) 的95%置信区间不包含0，那么在显著性水平 \( \alpha \) 下，我们可以拒绝 \( \beta_i = 0 \) 的零假设，认为 \( x_i \) 对 \( y \) 有显著影响。 此外，文档中还提到了使用 `spline` 函数进行三次样条插值的例子，这在处理连续数据时非常有用，可以平滑数据并进行数据点之间的插值。 总结来说，Matlab 提供了强大的工具进行线性回归和非线性拟合，通过 `regress` 和 `nlinfit` 函数，我们可以方便地进行模型构建、参数估计和显著性检验，从而深入理解数据中的模式和关系。