图的算法与数据结构：遍历、连通性和最短路径

"这篇内容主要涉及图的概念、存储结构、遍历、连通性问题、有向无环图(DAG)及其应用、最短路径等图论基础知识点。" 在计算机科学中，图是一种重要的数据结构，用于表示对象之间的关系。它由一个顶点集V和一个弧集R构成，形式化表示为Graph=(V,R)，其中R包含所有从顶点v到顶点w的弧，如<v,w>。如果R中每条弧都有其对应的逆弧<w,v>，则称图是无向的；反之，如果只有单向弧，那么图是有向的。 无向图G2=(V2,VR2)的例子展示了顶点集合V2={A,B,C,D,E,F}以及边集合VR2，其中边是无方向的，如(A,B)。而有向图G1=(V1,VR1)中，弧如<A,B>是有方向的，从A指向B。 在图的术语中，一些关键概念包括： 1. 子图：如果一个图G'的顶点和边都是原图G的一部分，那么G'是G的子图。 2. 度：一个顶点的度是与之相连的边的数量。对于有向图，分为出度（以该顶点为起点的边数）和入度（以该顶点为终点的边数）。 3. 连通性：如果图中任意两个顶点间都存在路径，则图是连通的。连通分量是图的最大连通子图。 4. 强连通图：对于有向图，如果每个顶点都可以到达其他所有顶点，那么它是强连通的。 5. 生成树：一个无环且连接所有顶点的子图，是原图的生成树。 6. 最短路径：在加权图中，从一个顶点到另一个顶点的具有最小总权重的路径。 图的存储结构通常有两种主要方式：邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵是一个二维数组，用于表示所有顶点间的连接状态；邻接表则是每个顶点对应一个链表，列出与其相邻的所有顶点。 图的遍历主要有两种方法：深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)。在给定的代码段中，展示的是拓扑排序，这是一种特殊的遍历方法，用于有向无环图(DAG)。它按照顶点的入度进行排序，从入度为0的顶点开始，每次移除一个顶点并处理其相邻顶点，直到所有顶点都被处理。如果能成功完成拓扑排序，意味着图中没有环。 有向无环图在很多实际问题中都有应用，如任务调度、依赖关系分析等。最短路径算法如Dijkstra算法或Bellman-Ford算法，常用于求解网络中的最经济或最快路径。 理解并掌握这些图的理论和算法，对于解决各种复杂问题，特别是在网络分析、路由规划、编译器设计等领域，具有非常重要的意义。