随机过程基础：概率论与马尔可夫过程

"随机过程预备知识，包括特征函数、概率密度、期望和方差等基本概念，以及马尔可夫过程、随机分析、时间序列和平稳过程的介绍。" 随机过程是概率论的一个重要分支，它研究的是随机变量随时间变化的规律。预备知识主要涉及以下几个核心概念： 1. **概率空间**：概率空间由随机试验(E)、样本点(ω)和样本空间(Ω)组成。随机试验是具有随机性和重复性的实验，样本点是试验可能出现的每个结果，而样本空间则是所有可能结果的集合。根据样本点的性质，样本空间可以分为离散和连续两种类型。 2. **随机事件**：随机事件是样本空间的子集，它可以代表一系列可能的结果。必然事件是包含所有样本点的事件，即Ω；而不可能事件是没有任何样本点的事件，即φ。事件域(或σ-代数)是一组满足特定条件的事件集合，如包含空集、原集以及闭合于并集和递归并集。 3. **随机变量**：随机变量是定义在概率空间上的实值函数，它将样本点映射到实数。随机变量可以是离散型或连续型，对应的概率分布分别为概率质量函数(PMF)和概率密度函数(PDF)。 4. **特征函数**：随机变量的特征函数是其概率密度函数的傅立叶变换，它包含了随机变量的所有统计信息，如均值和方差。 5. **期望**：期望是随机变量的平均值，它是随机变量所有可能取值与其概率乘积的和。对于离散型随机变量，期望等于每个值乘以其对应概率的总和；对于连续型随机变量，期望则是概率密度函数与变量值的乘积在所有实数上的积分。 6. **方差**：方差是衡量随机变量波动程度的统计量，等于期望值与随机变量平方的期望之差的平方。方差越大，随机变量的分布越分散；方差越小，分布越集中。 7. **马尔可夫过程**：这是一种随机过程，其中系统未来状态的概率只依赖于当前状态，而不依赖于它是如何达到当前状态的历史过程。 8. **随机分析**：这涉及到随机变量和随机过程的数学理论，包括微积分、泛函分析和随机微分方程等。 9. **时间序列**：时间序列是按照时间顺序排列的随机变量序列，通常用于经济、金融和气象等领域，以分析数据随时间的变化趋势。 10. **平稳过程**：平稳过程是指随机过程的统计特性（如均值和方差）不随时间平移而改变，这在信号处理和通信中很重要。 了解这些预备知识对于理解和应用随机过程至关重要，它们构成了随机过程理论的基础，并为深入学习更复杂的随机过程模型（如布朗运动、泊松过程等）打下坚实基础。在实际应用中，这些概念和理论被广泛应用于金融工程、统计物理、信号处理、通信网络和许多其他科学领域。