解决龙格现象：等距节点高阶多项式逼近新方法

"这篇论文研究了龙格现象的破解方法，提出了一种新的多项式系数与阶次双确定策略，能够有效地解决等距节点高阶插值多项式在逼近龙格函数时产生的振荡问题。这种方法允许使用高阶多项式进行逼近，而不会产生明显的振荡，提高逼近精度。" 在数值分析和计算数学中，插值是一种常见的技术，用于通过有限个已知数据点来构建一个函数，以便近似复杂的或难以计算的原函数。多项式插值是最常用的一种方式，因为它计算简便，且便于进行微分和积分操作。然而，Weierstrass逼近定理虽然保证了任何连续函数可以用多项式无限逼近，但没有提供具体的构建逼近多项式的方法。 龙格现象是一个经典的数值分析问题，它揭示了当使用等距节点的高阶多项式插值来逼近特定类型的函数（如龙格函数）时，插值多项式会在端点附近出现剧烈的振荡，导致逼近误差增大。随着阶次的提高，这种振荡现象会加剧，这使得基于等距节点的高阶多项式插值在处理龙格函数时变得不理想。 为了解决这个问题，传统方法通常采用非等距的节点，如切比雪夫节点，这些节点能有效减少振荡并改善逼近效果。然而，切比雪夫节点的使用可能在实际应用中带来数据处理的复杂性，特别是当数据是以等时间间隔采样的。另一种策略是采用分段样条插值，通过在不同区间上使用低阶多项式，也能避免振荡并提升逼近质量。 这篇论文提出的新型方法，系数与阶次双确定法，为解决龙格现象提供了一个新的视角。它能快速构建出基于等距节点的无振荡且具有较高逼近精度的高阶多项式，适用于龙格函数。通过计算机数值实验验证，这种方法有效克服了龙格现象，证明了在等距节点上使用高阶多项式进行插值是可行的，这对于那些传统方法难以处理的情况提供了新的解决方案。 此外，这种方法的创新之处在于，它不依赖于改变节点分布或者采用分段低阶多项式，而是专注于优化多项式的系数和阶次选择，以达到消除振荡并提高逼近精度的目的。这种方法简化了实际应用中的操作，尤其对于等间距数据的处理，提供了更直接和实用的插值策略。这项研究为数值分析领域的插值理论和技术带来了新的突破，有助于进一步改进对复杂函数的数值逼近方法。