数值计算实验：插值法与Lagrange与牛顿插值

"该文档是关于数值计算的实验报告，主要探讨了插值法的应用，包括Lagrange插值和牛顿插值。通过具体的实例，介绍了如何在Mathematica环境中实现插值算法，以及计算函数近似值的方法。" 在数值计算中，插值是一种重要的技术，它用于构建一个多项式函数，该函数通过给定的一组离散数据点。实验报告中提到了两个插值方法：Lagrange插值和牛顿插值。 1. **Lagrange插值**：Lagrange插值法基于Lagrange基多项式，用于找到一个n次多项式，这个多项式通过n+1个数据点。在实例1中，使用Lagrange插值来求解函数在特定点的近似值。Mathematica程序定义了一个函数`r0`用于计算差商，然后定义`L3`来构建Lagrange插值多项式。经过计算，得到了在x=1.2处的函数近似值为15.1307。 2. **差商和Runge现象**：差商是插值法中的基本概念，它是函数在相邻点的差异的比值，用于构造多项式近似。Runge现象是指在高次插值时，插值多项式在数据点附近的波动可能非常剧烈，这可能导致近似结果不准确。因此，选择合适的插值方法和节点分布对于避免Runge现象至关重要。 3. **牛顿插值**：牛顿插值，也称为Newton forward divided difference formula，它的优点在于每次添加新的数据点时，只需要增加一项即可得到新的插值多项式。在实例2中，展示了如何用牛顿插值法计算函数在特定点的近似值。首先初始化变量，然后定义数据点，构造均差表，最后通过循环计算牛顿插值多项式，并求得f(0.596)的近似值。 这些实验展示了数值计算中的基本操作，包括使用软件工具（如Mathematica）实现插值算法，理解差商的概念，以及如何处理插值的精度问题。通过这样的实验，学生可以更好地理解和掌握数值计算中的插值技术，为解决实际问题打下基础。