现代控制理论：状态空间分析与设计

"控制理论中的单输入-单输出线性定常系统分析，特别是状态空间方法的应用，包括状态变量的选择、系统的状态空间表达式、可控性和可观性、状态反馈、状态观测器、系统稳定性、李雅普诺夫第二方法等核心概念和技术。" 状态空间分析方法是现代控制理论的重要组成部分，它超越了经典控制理论中基于传递函数的分析方式，更深入地探讨系统的内部动态行为。对于单输入-单输出线性定常系统，状态空间模型能够全面地描述系统的所有动态特性，这需要选取合适的状态变量。 1. **选取状态变量**：状态变量的选择是构建状态空间模型的关键步骤，它们应能完全描述系统的动态行为。通常，每个状态变量对应系统的某个物理量或动态特性。 2. **状态空间表达式**：一旦状态变量确定，系统可以用一组线性微分方程（即状态方程）来表示，形式为dx/dt = Ax + Bu，其中x是状态向量，A是状态矩阵，B是输入矩阵，u是输入向量。初始条件（如描述中的(t=0)时的初值）用于确定系统的具体行为。 3. **可控性和可观性**：这是评估系统性能的重要指标。可控性意味着通过状态反馈可以达到任意期望的系统动态；可观性则表示通过输出可以完全获取系统状态的信息。判断这两个性质有特定的数学判据。 4. **状态反馈和状态观测器**：状态反馈用于通过调整系统内部状态来改善性能，而状态观测器则用于估计无法直接测量的状态变量，以实现闭环控制。 5. **有界输入、有界输出稳定性（BIBO稳定性）**：系统应确保在所有输入信号都在一定范围内时，输出保持稳定。这是系统设计的基本要求。 6. **李雅普诺夫第二方法**：是分析系统稳定性的一种强大工具，通过构造一个李雅普诺夫函数，证明其值在系统运行过程中非增，从而证明系统的稳定性。 学习状态空间分析方法需要掌握矩阵指数计算、状态方程的时域和复数域求解、可逆线性变换及其对动态方程的影响、可控性和可观性判据的应用、状态反馈的极点配置、全维状态观测器的设计以及系统稳定性的判别方法。这些技能和概念构成了现代控制系统设计和分析的基础。通过理解和应用这些知识，工程师可以解决更复杂、更实际的控制系统问题。