动态规划解析：计算决策函数与信息学竞赛

"这篇文章主要介绍了动态规划在解决计算决策函数问题中的应用，特别是在信息学奥赛中的实践。文章作者是上海市控江中学的王建德，他探讨了动态规划的基本概念、基础题型以及综合题型，以一个寻找最短路径的问题为例进行深入解析，并涉及了预处理内容，如计算每个字母的最佳匹配。" 动态规划是一种优化策略，用于解决多阶段决策问题，它通过确定最优决策序列来达到最优化的目标。在这个过程中，状态会随着决策的变化而转移。在信息学奥赛中，动态规划常被用来解决复杂问题，例如文本匹配、最短路径计算等。 文章首先阐述了动态规划的基本概念，指出动态规划的核心在于递推公式，通过将问题分解为更小的子问题来求解。以寻找从点P到点A的最短路径为例，我们可以定义从P到任何点的最短路径P(X)，然后根据相邻节点的关系构建递推关系，如P(A) = min{P(B) + 2, P(C) + 3}。这种倒推方法要求我们从最后一阶段开始向前计算，直到得到初始状态。 接着，文章讨论了动态规划的基础题型，可能包括简单的状态转移方程，如斐波那契数列，以及二维网格中的最短路径问题等。作者可能通过具体的例子来说明如何设置状态、确定边界条件以及构造递推公式。 动态规划的综合题型通常涉及到更复杂的决策树和状态空间。文章可能详细分析了如何处理具有多个决策阶段和多种选择的问题，以及如何通过记忆化搜索或自底向上的方法避免重复计算，提高效率。 预处理内容在动态规划中扮演着重要角色。对于文本匹配问题，可能需要预先计算每个字符与其他字符匹配时的最小权值，这可以形成一个查找表，用于快速获取最优决策。例如，对于字符串u和v，可以计算每个字母的最佳匹配，形成矩阵v[i][j]表示u的第i个字符与v的第j个字符匹配的最小权值。 在实际编程实现中，可能会使用二维数组来存储路径长度（如h[4][3]）或者匹配信息（如v[i][j]），以便于在动态规划过程中快速访问和更新这些信息。这样的数据结构设计有助于优化算法的时间复杂度。 这篇文章深入浅出地介绍了动态规划在信息学竞赛中的应用，强调了计算决策函数的关键步骤，对于理解和解决相关问题提供了宝贵的指导。通过学习动态规划，参赛者可以更好地应对复杂的计算挑战，提高解决问题的能力。