天津工程师范学院《数值分析》课程设计：分段线性插值实践与误差分析

在《数值分析》课程设计中，牛彦坡、陈彬和冯梦雨三位学生选择了分段线性插值作为他们的研究课题，这是一项旨在深入理解插值法尤其是分段线性插值概念的任务。课题来源于教材，其目的是通过实践操作，掌握将数学理论应用到计算机编程中的能力，并利用Matlab这一工具解决问题。 课程设计时间安排在2009年6月22日至6月28日，主要要求学生自编程序，熟练掌握一种编程语言。报告应包含理论分析，清晰的数据表和图像展示，对结果进行深入分析并得出结论，同时鼓励创新思维。学生们被要求在区间(-5,5)上对给定数据节点进行分段线性插值，随着节点数量的变化（如[pic]），观察插值函数的精度和实际函数的误差，以此探讨节点数与插值效果之间的关系。 分段线性插值的核心理论基于已知函数在特定节点上的值，通过构建折线段来近似连续函数。具体步骤包括确定每个区间的线性函数，确保在每个区间[xk, xk+1]上函数的线性性质。公式表达如下： 1. 对于区间[xk, xk+1]，线性插值函数为： \( L_k(x) = f_k + \frac{(x - x_k)(f_{k+1} - f_k)}{x_{k+1} - x_k} \) 2. 插值条件要求插值函数在每个节点处连续，即： \( L_k(x_k) = f_k \) 和 \( L_{k+1}(x_k) = f_{k+1} \) 3. 保证在每个区间内插值函数是一致的线性函数。 在实践中，学生们需自行编写程序实现这个过程，不仅要能够计算出给定节点的函数值，还要扩展到非节点的x值。通过比较不同节点数下插值函数与真实函数的误差，他们将能够分析节点密度如何影响插值的精确度。 参考文献包括多本数值分析教材，如李庆扬、王能超和易大义的《数值分析》（清华大学出版社），以及关治、陆金甫和蔡大用等人的著作，为学生们提供了丰富的理论支持和实践指导。 整个课程设计不仅考验了学生的编程技能，也锻炼了他们的理论应用能力和数据分析能力，是将数值分析理论与实际问题结合的重要实践环节。