动态规划详解：解决多阶段决策问题的关键技术

第8章 动态规划深入讲解了动态规划这一强大的优化方法在解决多阶段决策问题中的应用。本章内容包括8.1动态规划概述、8.2整数拆分问题、8.3最大连续子序列和问题等，旨在通过实例演示如何将复杂的问题分解为更小的子问题，并利用这些子问题的最优解来构建原问题的解决方案。 在求解斐波那契数列问题上，递归算法导致了大量的重复计算。传统的递归方法会反复计算相同的子问题，如Fib(3)在计算Fib(5)时被计算了两次。这显示了动态规划的关键优势——避免重复劳动。动态规划的核心思想是将问题分解为子问题，并存储已解决子问题的结果，以便后续直接引用，而不是每次都重新计算。 为了改进这个递归算法，引入了一个称为“动态规划表”或“dp数组”的数据结构。在求解Fibonacci数列时，我们初始化dp数组，将其第一个两个元素dp[1]和dp[2]设为1，然后遍历数组，从dp[3]开始计算每个元素的值。在这个过程中，如果遇到已经计算过的子问题，就直接从dp数组中获取答案，而非重复计算。这样，不仅提高了效率，也大大减少了计算量。 举例来说，当调用Fib1(5)时，原始递归算法会经历以下步骤： 1. 调用Fib(5)，计算Fib(4)，Fib(3)，Fib(2)，Fib(1)。 2. 在计算Fib(5)时，先计算Fib(3)，再次计算Fib(2)。 3. 计算Fib(4)时，又需要计算Fib(3)，再次计算Fib(2)。 而使用动态规划优化后，步骤变为： 1. 初始化dp[1]=1, dp[2]=1。 2. 计算dp[3]=dp[2]+dp[1]。 3. 计算dp[4]=dp[3]+dp[2]，此时dp[3]已经计算过，不再重复。 4. 最终dp[5]=dp[4]+dp[3]，同样dp[3]已存在，避免了重复。 通过这样的方式，动态规划有效地解决了递归算法中的重复计算问题，使得解决像斐波那契数列这样的问题更为高效。此外，动态规划还广泛应用于其他多阶段问题，如背包问题、最短路径问题、最优化问题等，都是通过类似的方法将大问题分解成更易管理的小问题，从而找到全局最优解。在第8章中，每一个子问题的求解都会深入阐述其背后的原理和算法设计，帮助读者掌握动态规划的精髓。