MATLAB实现DNRTR算法：寻找函数极小值的优化实践

DNRTR算法，全称为对角拟牛顿更新算法（Diagonalized Newton-Raphson Trust Region Algorithm），是一种用于数值最优化的方法，尤其适用于求解非线性函数的局部极小值问题。该算法在弱割线方程的框架下工作，通过最小化目标函数估计值的变化量和Hessian矩阵迹的更新来构造一个对角线近似的Hessian矩阵，从而进行迭代更新。 在实验中，核心思想是利用对角化策略，简化了每次迭代时所需处理的矩阵运算，降低了计算复杂性。其基本公式包括： 1. 对角矩阵中的Hessian逼近计算，通过最小变化割线策略，即： [H_k]_{ii} ≈ \frac{g_k^T g_k}{||\nabla f_k||^2}，其中 \(g_k\) 是目标函数在第\(k\)次迭代的梯度，\(\nabla f_k\) 是梯度向量。 2. 最小化跟踪更新策略，涉及对Hessian的对角线元素的调整，确保算法的收敛性。 算法步骤主要包括初始化、线搜索、以及迭代更新对角矩阵并调整步长。在这个实验中，使用MATLAB作为主要工具，包括编写目标函数（如hanshu.m，计算一个非线性函数的和平方），梯度函数(grad.m，计算目标函数的梯度），Wolfe线搜索函数(wolfe.m，进行线搜索以找到合适的步长)，以及DNRTR算法的主实现代码(DNRTR.m)。 实验内容具体到实际操作上，首先定义了一个实验算例，可能是某个非线性函数的实例。接着，按照以下步骤进行： - 编写目标函数文件，定义了非线性函数hanshu(x)，例如一个关于x的一维或多维函数。 - 编写梯度函数grad.m，计算目标函数的梯度，这对于估计切线方向至关重要。 - 实现Wolfe线搜索，用于在满足 Wolfe 条件的情况下确定步长，这是保证收敛性和全局性能的关键部分。 - 主函数main.m负责调用上述所有函数，并整合整个优化过程，包括初始点的选择、迭代次数限制等。 实验过程中，会记录目标函数的原始数据、迭代过程中函数值的变化、梯度的大小以及步长的选择等关键信息，可能还包括生成的相关图表来可视化优化过程。通过这些数据和结果，可以分析算法的性能和收敛性，以及评估不同参数设置对结果的影响。 这个实验着重于理解DNRTR算法的理论背景，掌握其实现步骤，并通过MATLAB进行编程实践，验证算法在特定函数上的应用效果，以提升最优化问题求解的能力。