小波分析深入探索：从Fourier到正交小波变换的应用

"小波分析是一种数学工具，用于对信号进行时频局部化分析，它结合了傅立叶变换和时间局部化的优点。本报告由胥柏香和程荷兰主讲，苏先樾指导，涵盖了从Fourier变换到小波变换的不同方面，包括连续小波变换、二进小波变换、多尺度分析以及正交小波变换，并通过实例展示了小波分析在单自由度动力分析中的应用。报告强调了信号时频分析的重要性，指出Fourier变换在处理信号时的局限性，从而引出小波变换作为更有效的分析手段。" 小波分析是一种强大的数学工具，主要用于分析非平稳信号，即那些其频率成分随时间变化的信号。报告首先介绍了Fourier变换，它是将信号从时域转换到频域的基础，但无法同时提供精确的时间和频率信息。为了克服这一限制，引入了时频局部化分析，如相空间分析和短时Fourier变换。 接下来，报告详细阐述了连续小波变换，它使用连续小波函数来实现时间频率分析的局部化。常见的小波函数，如Morlet小波和Meyer小波，被用来更好地捕捉信号的局部特征。连续小波变换提供了信号在不同时间和频率上的分布情况。 二进小波变换是离散形式的小波变换，适用于数字信号处理。它通过构造二进小波基来实现，适用于有限信号的分析，并且有特定的算法实现。 多尺度分析是小波理论的核心概念，通过双尺度差分方程来描述信号在不同分辨率下的表示。这种分析方法允许我们从粗略到精细逐步理解信号结构。 正交小波变换是小波分析的另一个关键部分，它涉及正交小波基和小波级数。正交小波与多尺度分析紧密相关，可以用于离散信号的变换，并且有矩阵形式的表示。正交小波与二进小波的区别在于它们的正交性和构造方式。 最后，报告给出了小波分析在单自由度动力系统分析中的实际应用，演示了如何利用小波分析来理解和解析动态系统的响应。 此外，报告还提到了正交小波构造的进一步讨论，正交小波包以及双正交小波变换等前沿话题，表明小波分析在理论研究和实际应用中仍有广阔的探索空间。小波分析的广泛应用，尤其是在信号处理、图像压缩、故障诊断等领域，显示了其强大的理论价值和实用价值。