谱聚类详解：基于广义瑞利商与归一化剪切

"这篇文档是关于谱聚类算法的入门介绍，主要讲解了谱聚类的基本概念、图的表示以及图划分，同时涉及到损失函数Laplacian矩阵和Normalized Cut方法。" 谱聚类是一种利用图论理论进行数据聚类的方法，它通过对数据构建的图的拉普拉斯矩阵进行特征分解，然后对得到的特征向量进行聚类。这种方法能够有效地处理非凸形状的簇，且在数据分布不均匀的情况下表现良好。 首先，谱聚类的核心在于构建图。图由节点（顶点）和边组成，每个节点代表一个数据样本，边的权重则表示样本之间的相似度。在无向图中，边的权重是对称的，即节点i到节点j的权重等于节点j到节点i的权重。图的表示可以用节点集合V和边集合E来描述，其中V包含所有节点，E则包含了所有边的信息。 图的划分是谱聚类中的关键步骤，目标是将图分成多个互不相交的子图，每个子图内部的节点相似度高，而不同子图的节点相似度低。图的划分可以通过损失函数来量化，其中最常用的是Normalized Cut方法。这个方法衡量的是在划分图时，子图间被“截断”的边的权重和，旨在找到一个分割方式，使得分割后的子图内部连通性较强，而子图间的连通性较弱。 Laplacian矩阵在谱聚类中扮演着重要角色，它是图的一种数学表示，能够捕捉图的结构信息。对于给定的图G，Laplacian矩阵通常有两种形式：未归一化的Laplacian (也称为度矩阵) 和归一化的Laplacian。归一化的Laplacian矩阵在处理节点度差异较大的图时更为稳定。 在Normalized Cut方法中，目标是最小化损失函数，这个函数与子图划分向量q有关，q是一个二进制向量，表示节点属于哪个子图。损失函数的定义涉及到子图内部的权重和与子图间的权重和的比值，通过优化这个比值可以找到最佳的图划分。 谱聚类是一种强大的聚类工具，尤其适用于复杂数据集。通过图论的视角，它可以揭示数据内在的结构，并能有效处理非欧几里得数据。在实际应用中，谱聚类广泛应用于社交网络分析、图像分割、模式识别等多个领域。