图论基础：概念、无向图、有向图与带权图解析

"图论中的概念及重要算法" 图论是一门数学分支，主要研究图的结构和性质。在图论中，一个图是由顶点（Vertex）和边（Edge）组成的结构，通常表示为G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边集合。边可以是无向的，也可以是有向的。 1. 基本概念 - 顶点（Vertex）：图中的基本单元，可以代表任何实体。 - 边（Edge）：连接两个顶点的关系，可以是有向或无向。 - 邻接（Adjacent）：如果两个顶点之间存在一条边，就说它们是邻接的。 2. 无向图和有向图 - 无向图：边没有方向，如图（A）。在无向图中，边（u,v）与边（v,u）视为等价。 - 有向图：边具有方向，如图（B）。在有向图中，边由尖括号表示，如＜u,v＞，且边＜u,v＞与＜v,u＞是不同的两条边。 3. 带权图（Weighted Graphs） - 在某些应用中，边可以带有权重，表示某种量化的关系，如距离、成本、流量等。这种图称为带权图或网络。 4. 阶（Order） - 图中顶点的数量称为图的阶，例如图（A）的阶为4。 5. 度（Degree） - 一个顶点的度是与其相邻的边的数量。 - 无向图中，顶点的度等于与其相连的边数。 - 有向图中，区分入度（In-degree）和出度（Out-degree），入度是进入该顶点的边数，出度是离开该顶点的边数。 6. 奇点与偶点 - 度为奇数的顶点称为奇点，度为偶数的顶点称为偶点。例如，图（A）中的顶点V和V是奇点，而V和V是偶点。 7. 定理 - 定理1（握手定理）：无向图中所有顶点的度之和等于边数的2倍。这是因为每条无向边连接两个顶点，所以对每个边来说，它为两个顶点的度各贡献1。 - 定理2（有向图的度数定理）：在有向图中，所有顶点的入度之和等于出度之和。这是有向图的平衡性体现，即流入的边数等于流出的边数。 8. 其他重要概念 - 路径（Path）：在图中，从一个顶点到另一个顶点连续经过的一系列边。 - 环（Cycle）：在无向图中，起点和终点相同的路径称为环。 - 连通图（Connected Graph）：无向图中，任意两个顶点都存在路径的图。 - 树（Tree）：一种特殊的无环连通图，其中任意两个顶点间都有唯一路径。 9. 算法 - 最短路径算法，如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法，用于找出图中两点之间的最短路径。 - 最小生成树算法，如Prim算法、Kruskal算法，用于找到一个连通图的边的子集，形成一棵树，并且这棵树的所有边的权重之和最小。 - 遍历算法，如深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS），用于遍历图的所有顶点。 - 拓扑排序，用于有向无环图（DAG），确定顶点的一种线性顺序。 这些基本概念和算法构成了图论的基础，广泛应用于网络分析、计算机科学、运输规划、社会网络分析等多个领域。深入理解图论及其算法对于解决复杂问题至关重要。