列表H-同态的查询复杂度与可测试条件分析

本文探讨了查询复杂度在列表H-同态问题中的应用，该问题涉及到图论中的图同态映射。列表H-同态问题是一个图论问题，其中给定一个具有特定列表约束的无向图G和一个无向图H，目标是找出是否存在一个映射f，使得f将G的顶点映射到H的顶点，同时满足f在G中的每条边（u, v）对应H中的边（f(u), f(v)）且f(v)属于给定的列表L(v)。 文章首先介绍了同胚映射的概念，即一个映射f若满足(f(u), f(v))在H的边集E(H)内，只要(u, v)在G的边集E(G)内。接着，作者将注意力转向列表H-同态问题的可测试性，这是一个概率性判定问题，即给定一个预定义的映射f，需要确定它是否满足列表H-同态的条件，或者与任何列表H-同态相差甚远。算法的效率通过访问映射f的次数来衡量，即查询复杂度。 文章的主要贡献是对图H进行了分类，基于它们在列表H-同态问题中的查询复杂度。作者证明了以下几点： (i) 如果H是自反完全图或非自反完全二部图，列表H-同态可以使用常数次查询进行测试。 (ii) H是双弧图时，列表H-同态问题可以使用次线性数量的查询来测试。 (iii) 当H不是双弧图时，测试列表H-同态需要线性数量的查询。 这些发现扩展了对图HOM(H)和LHOM(H)计算复杂性的理解，其中HOM(H)是传统H-同态问题，LHOM(H)是列表H-同态问题。已知HOM(H)属于P类问题当H是二部图，而在NP-完全类中当H不是二部图。而LHOM(H)的问题，当H是双弧图时，可以在多项式时间内解决。 此外，本文的设置允许映射f作为“预言通路”给出，增加了问题的实用性和现实世界的相关性。研究这种问题的可测试性对于设计更高效的算法和理解图同构问题的复杂性有重要意义，尤其是在处理大规模图数据时。 这篇论文深入研究了列表H-同态问题的查询复杂度，提供了新的分类和可测试性条件，对于理解和解决此类问题提供了理论基础。这对于图论、计算机科学以及相关领域的研究者具有重要的参考价值。