全选主元高斯消去法求解线性方程组

" GAUSS.C 文件包含了全选主元高斯消去法的实现，用于求解线性方程组。该算法首先通过选择主元进行行交换以提高数值稳定性，然后进行归一化和消元步骤来逐步求解方程组。如果在过程中发现系数矩阵奇异，即行列式接近于零，程序会输出错误信息并返回0。 全选主元高斯消去法是一种改进的高斯消元法，主要目的是减少数值计算中的误差。在标准的高斯消元法中，可能会遇到某些元素非常小，导致在计算过程中产生大误差。全选主元策略是在每一步迭代时，选取当前子矩阵中绝对值最大的元素作为主元，这样可以减少因除以接近零的数而导致的数值不稳定。 算法步骤如下： 1. **初始化**：输入一个n阶的线性方程组，其系数矩阵存储在二维数组`a`中，常数项存储在数组`b`中。分配内存空间`js`用于记录行交换信息。 2. **行交换**：对于每个k（从0到n-2），找到第k行和第k列交叉处以下子矩阵中绝对值最大的元素（主元），并记录它的行号`is`和列号`js`。如果主元与当前位置不同，就交换这两行和对应的列。 3. **检查奇异**：如果在最后一步找不到非零主元（即主元接近于零），则系数矩阵奇异，返回错误信息并释放内存。 4. **归一化**：将第k行的每个元素除以其主元，使主元变为1，这一步称为行归一化。 5. **消元**：对第k+1到n-1行，逐个减去第k行的倍数，消除第k列的非主元。 6. **重复步骤2-5**：直到所有行都处理完毕，最后一行的元素将直接给出解。 7. **解的计算**：最后一行的主元`d`应非零，否则矩阵奇异。除以`d`得到最终的解向量`b`。 8. **结束**：释放内存`js`，完成计算。 这个C语言实现的`gauss()`函数返回一个整型标志，非零表示成功，0表示失败。通过调用此函数并传入适当的参数，可以解决实际的线性方程组问题。注意，为了数值稳定性和避免除以接近零的数，代码中使用了`fabs()`函数来比较绝对值，并且在比较时加入了很小的容差值`1.0+1.0e-10`。 全选主元高斯消去法是数值线性代数中的基础方法，适用于求解大型线性系统，尤其是在没有专门的线性代数库或硬件支持的环境中。然而，对于特别大的矩阵，更高效的算法如LU分解、QR分解或迭代方法可能更为合适。在实际应用中，还需要考虑数值稳定性、效率和内存使用等因素。