图数据结构：遍历、最小生成树与最短路径

本资源主要探讨了图这一数据结构的建立和销毁，包括顶点的插入和删除、邻接点的操作、顶点的访问、图的遍历、弧的插入和删除等基本操作，涉及到图算法的相关概念。 在计算机科学中，图是一种重要的数据结构，它用于表示对象之间的关系。图由一个顶点集V和一个弧集R构成，形式化表示为Graph=(V,R)，其中弧集R包含了顶点对之间的关系，如<v,w>表示从顶点v到顶点w的一条有向弧。如果P(v,w)为真，那么这条弧有意义。图可以是有向的，也可以是无向的，无向图中每条边可以双向通行，而有向图则规定了方向。 图的类型包括有向图和无向图。有向图中，弧是有方向的，如图G1所示，包含顶点A、B、C、D、E，并有特定的弧如<A,B>、<A,E>等。无向图则是由边集构成，边没有明确的方向，如图G2所示，包含相同的顶点集，但边如<A,B>表示A和B之间存在连接，而非单向。 图的一些关键概念包括： 1. **顶点（Vertex）**：图的基本元素，可以代表任何实体。 2. **弧（Arc/Edge）**：连接两个顶点的线，有向图中称为弧，无向图中称为边。 3. **邻接点（Adjacent Vertices）**：在一个顶点的邻接表中，与其直接相连的其他顶点。 4. **度（Degree）**：一个顶点的度是与其相连的边或弧的数量。分为入度（In-degree，进入该顶点的边数）和出度（Out-degree，从该顶点出发的边数）。 5. **路径（Path）**：图中从一个顶点到另一个顶点的边序列，路径长度是路径上边的数量。 6. **简单路径（Simple Path）**：路径中不包含重复顶点的路径。 7. **连通图（Connected Graph）**：图中的任意两个顶点都存在路径相连。 8. **生成树（Spanning Tree）**：在连通图中，由原图的所有顶点组成且无环的子图，这样的子图被称为生成树。 图的遍历是图算法中的基础操作，常见的遍历方法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。这些方法用于访问图中的所有顶点，以便于进行各种分析和计算，例如查找最短路径、构建最小生成树等。 最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是图理论中的一个重要问题，用于寻找一个无向图的边子集，使得这个子集构成一棵树且连接了所有顶点，同时权重之和尽可能小。常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。 两点之间的最短路径问题，如Dijkstra算法，是寻找图中两个顶点之间路径权重最小的路径。 重（双）连通图和关节点（Cut-vertex）涉及图的连通性分析，用于识别关键的顶点，它们的移除会使得图分成多个不相交的连通部分。 拓扑排序（Topological Sorting）是应用于有向无环图（DAG）的操作，将顶点按其出现的先后顺序排列。 关键路径（Critical Path）在项目管理中广泛应用，用于确定项目中最长的路径，即决定项目完成时间的关键活动序列。 这些基本概念和操作构成了图算法的基础，广泛应用于网络分析、社交网络、路由算法、操作系统调度等多个领域。理解并掌握图的建立、销毁以及相关操作对于解决复杂问题至关重要。