充分非线性KdV-Burgers方程的最优控制理论与应用

"这篇论文是2005年发表在《江苏大学学报（自然科学版）》第26卷第2期上的，作者是赵志峰和田立新，主要探讨了充分非线性KdV-Burgers方程在Dirichlet边界条件下的最优控制问题。" 本文深入研究了充分非线性KdV-Burgers方程，这是一个在物理学、工程学以及流体动力学等领域具有广泛应用的偏微分方程。该方程的形式为：ut - kuxx + βuxxx + unux = f，其中u是依赖于时间和空间的未知函数，t表示时间，x表示空间坐标，k、β和n是常数参数，f则代表外部激励。Dirichlet边界条件通常规定了方程在边界上的特定值。 在论文中，作者首先分析了在Dirichlet边界条件下，充分非线性KdV-Burgers方程解的存在性。这一部分的工作涉及到偏微分方程理论中的关键概念，如弱解、强解以及解的连续性和不同iability性质。解的存在性证明通常基于泛函分析的方法，如变分法和拓扑度理论。 其次，作者探讨了解的稳定性问题。稳定性分析是理解系统动态行为的关键，它能告诉我们当初始条件或参数发生微小变化时，解如何变化。对于控制理论来说，稳定的解意味着控制策略的效果能够持续并且对扰动具有一定的鲁棒性。 然后，论文的核心是证明了充分非线性KdV-Burgers方程的最优解的存在性。在最优控制理论中，目标通常是找到一个控制输入，使得某个性能指标（如能量、成本或轨迹跟踪误差）最小化。这里，作者可能利用了Pontryagin最大原理或Lagrange乘子方法来构造优化问题，并通过非线性优化技术来求解。 最后，论文的结论指出，这些研究成果不仅为充分非线性KdV-Burgers方程的理论研究提供了坚实的基础，也为实际工程应用中的控制设计提供了理论支持。这可能包括水波动力学、气体动力学或者任何受类似方程描述的复杂系统中的控制问题。 关键词：充分非线性KdV-Burgers方程，最优控制，最优解。 这篇论文对理解和应用充分非线性KdV-Burgers方程的最优控制问题具有重要意义，为后续的研究和实际工程问题的解决提供了重要的理论工具和方法。