素域Fp上多项式x^p-x-a的本原性猜想与证明

本文主要探讨了素域Fp上多项式x^p - x - a的本原性问题，其中Fp表示素数p的域，a是该域内的本原元。作者武跟强关注的是这个特定多项式的阶，即它在Fp上能否达到最大可能的阶p^p-1。本原多项式在密码学和编码理论中有重要应用，因为它们的性质对于设计安全的加密算法至关重要。 作者提出了一个猜想：多项式x^p - x - a在素域Fp上可能是本原的。他们通过检验小于40的素数p下的实例，发现当a是Fp的本原元时，多项式x^p - x - a确实显示出了本原多项式的特征。基于这些观察，作者提出了猜想1，即对于任意素数p和本原元a，x^p - x - a在Fp上是本原多项式。 为了支持这个猜想，文章展示了两个关键的命题。首先，命题2表明多项式a(x^p - x - a)在Fp上是不可约的，这是多项式为本原的一个必要条件。其次，命题3阐述了关于多项式阶的一个关系，即m = (p^p-1)/(p-1)，这对于证明x^p - x - a的阶等于p^p-1是至关重要的。 作者通过一系列的理论分析和实验验证，试图给出x^p - x - a为本原多项式的确切证明。这不仅深化了对有限域理论的理解，而且为密码学和编码理论中的相关研究提供了新的可能性。这篇首发论文旨在推进本原多项式在密码学中的应用，并可能启发后续学者在这一领域进行更深入的探索和研究。