新超梯度迭代法解决变分不等式

"这篇文章是2012年1月发表在《四川师范大学学报(自然科学版)》第35卷第1期上的一篇自然科学论文，由陈胜兰和方长杰共同撰写。该论文介绍了一种新的超梯度迭代法来解决变分不等式问题，证明了通过该算法生成的迭代序列会强收敛到非扩张映射不动点集合与变分不等式解集合的交集。这种方法扩展了之前在这个领域的研究成果。" 正文: 变分不等式理论自20世纪60年代由G.Stampacchia引入以来，已经成为解决数学规划、优化理论、结构力学和经济平衡等领域中线性和非线性问题的重要工具。与之密切相关的非扩张映射不动点问题也是研究的焦点。论文提到，文献[2-4]中提出了求解变分不等式的似超梯度算法，而本研究在此基础上进一步发展，提出了一种新的超梯度迭代算法。 在实Hilbert空间H中，该算法处理的是变分不等式问题(1)，即寻找满足(Tu, v - u) ≤ 0条件的u属于非空闭凸集C的元素。这里的T是从H到H的单值映射，PC表示从H到C的投影算子。论文定义了两种类型的映射：α-余强制映射和非扩张映射，分别对应于映射T和S的特定性质。 α-余强制映射T满足一个关于距离的不等式，即存在常数α > 0，对于所有u, v ∈ C，(Tu - Tv, u - v) ≥ α ||u - v||^2。非扩张映射S则保证其映射结果的范数不会超过原向量的范数，即||Su - Sv|| ≤ ||u - v||，对所有u, v ∈ C成立。 论文的目标是证明新提出的超梯度迭代法生成的序列在更弱的条件下会强收敛到非扩张映射S的不动点集合F(S)与变分不等式问题(1)的解集合VI(T, C)的交集。这一结果不仅提供了求解变分不等式问题的有效途径，还扩大了现有理论的应用范围。 通过引入这些新的算法和理论，该研究为变分不等式和非扩张映射不动点问题的研究开辟了新的视角，对于解决实际问题中的优化和平衡问题具有重要的理论价值和实践意义。同时，作者通过严谨的数学证明，确保了新方法的收敛性和稳定性，为后续研究提供了坚实的基础。