三点边条件Sturm-Liouville问题的迹公式及特征值渐近估计

本文主要探讨了一个带三点边条件的Sturm-Liouville问题，这是一种在一维区间(b, a)和(α, c)上定义的微分方程组。问题的具体形式为： \[ \begin{cases} (\lambda - q_1(x))U(x) = 0, & x \in (b, a) \\ (\lambda - q_2(x))V(x) = 0, & x \in (\alpha, c) \\ U(b)\cos\alpha + U'(b)\sin\alpha = 0 \\ V(c)\cos\beta + V'(c)\sin\beta = 0 \\ U(\alpha) = h, \quad U'(\alpha) = \gamma V'(\alpha) \end{cases} \] 其中，λ是特征参数，q1和q2是实值连续函数，α、β、γ和k'是常数，且γ为非零实数。当α位于b和c之间时，问题被归类为折射型。文章的核心内容聚焦于特征值的性质分析和渐近行为，通过引入折射型的不同特殊情况，将三点边条件分为三种基本类型，对应地，作者构造了三个决定特征值的整函数ω(λ)。这些函数在特定的闭合轮廓上提供了特征值的渐近估计。 研究中，作者利用留数方法对这个问题的特征值进行了深入的估计。留数方法是一种在复分析中处理线性代数问题的有效工具，它有助于计算积分的残余，进而给出系统的特性值和解的性质。通过这种方法，作者得到了在不同特殊情况下特征值的渐近迹公式，这对于理解微分算子的反谱问题、孤子理论以及可积系统等领域具有重要意义。 文章的前言部分提及了特征值迹公式在微分算子理论中的广泛应用，尤其是在处理多层介质模型和复杂结构时。然而，由于三点边值问题相对较少见，因此对于此类问题的研究尤为有价值。作者首先解决了相关的初始值问题，通过构建解ψ(X, λ)和ψ*(X, λ)来逐步探讨特征值的渐近行为。 这篇文章不仅深化了我们对带三点边条件的Sturm-Liouville问题的理解，还提供了关于特征值估计和迹公式的新结果，这在理论和实际应用中都具有深远的影响。通过留数法，作者揭示了特征值在不同条件下的行为模式，为后续的理论发展和实际问题解决提供了新的工具和技术。