USTC现代密码学课件：有限域与群论基础

现代密码学理论与实践是中国科学技术大学提供的研究生课程课件，由杨寿保教授制作，专注于第四章——有限域。本章主要介绍了数学基础概念，包括域的定义及其运算性质，如封闭性、结合律、交换律、分配律以及加法逆和乘法逆等。模算术是特殊的整数算术，它将所有整数映射到一个特定的范围[0, n-1]，其中n是一个整数，通过取余运算实现。 有限域是具有有限元素且满足常规算术性质的特殊域，它们的阶（元素数量）总是可以表示为素数幂的形式，即pn，其中p是素数。对于阶为p的有限域，可以用模p的算术来描述，而对于阶为pn（n>1）的有限域，多变量多项式算术是其定义的关键。 接下来，课件转向了群、环和域的概念，这是抽象代数的基础。群是具有封闭性、结合律、单位元和逆元的集合，其中群的每个元素可以通过二元运算进行操作。有限群和无限群的区别在于元素数量的限制，Sn（n个不同符号的置换组成的集合）就是一个例子，它是有限群，每个元素代表一个排列。 这一部分的课件深入浅出地讲解了有限域在密码学中的核心地位，以及群论的基本原理，这些都是现代密码学设计和分析加密算法时不可或缺的数学工具。掌握这些概念对于理解公钥密码体制（如RSA）、椭圆曲线密码学（ECC）等高级加密技术至关重要。