拟牛顿法与DFP和BFGS算法解析

"该资源是关于最优化算法的讲解，主要聚焦在变尺度法，特别是DFP法和BFGS法。课程适用于研究算法的人员，配合陈开周老师的教材，内容详实。" 最优化算法是计算机科学和工程领域中的核心概念，旨在寻找能够最小化或最大化目标函数的方法。在本课程中，重点讨论了两种变尺度法——DFP法（Davidon-Fletcher-Powell法）和BFGS法（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno法），它们是数值优化中的重要算法。 1. 变尺度法的基本思想源于寻求一种平衡，即在保持快速收敛速度的同时，避免计算复杂的二阶导数矩阵（海森矩阵）及其逆阵。最速下降法虽然计算简单，但收敛速度较慢；而牛顿法和阻尼牛顿法虽然收敛快，但计算成本高。因此，变尺度法的目标是构造一种迭代搜索方向，它既能体现牛顿法的快速收敛特性，又无需直接处理海森矩阵。 2. 拟牛顿法是变尺度法的核心，它通过构造一系列近似海森矩阵的对称正定矩阵序列{H_k}来逼近实际的海森矩阵。这个序列应该满足一定的修正公式，以保证算法的下降性质。DFP法和BFGS法就是这样的拟牛顿方法，它们通过简单的修正矩阵C_k来更新H_k，使得在迭代过程中逐步生成更准确的搜索方向。 3. DFP法的修正公式要求H_k+1由H_k经过修正得到，而且这个修正应当是简单的，以便于计算。同时，H_k+1必须满足拟牛顿方程，这通常涉及到对迭代过程中的梯度和函数值变化的考虑。DFP法通过对上一步的H_k和修正矩阵C_k进行运算来更新H_k+1，以逼近真实的海森矩阵。 4. BFGS法则有所不同，它使用了一个更灵活的修正策略，能够处理更广泛的情况。BFGS法同样构造一个对称正定的H_k+1，但它的校正矩阵C_k是基于有限差分的梯度信息来确定的，这使得BFGS法在实践中经常表现得更为稳定和有效。 变尺度法通过近似牛顿法的迭代公式，提供了一种计算效率和收敛速度之间的折衷方案。DFP法和BFGS法是这种思想的典型实现，它们在工程优化、机器学习以及其他需要优化问题解决的领域中有广泛应用。学习和理解这些方法对于从事算法研究的人来说至关重要，因为它们能够帮助优化复杂问题的解决方案，提高计算效率。