一维与二维对流扩散方程的流形格式稳定性研究

本文档主要探讨了对流扩散方程的数值求解方法，特别是在使用流形方法进行数值模拟方面的进展。研究者在2010年提出了一个基于标准Galerkin加权余量法的定常无源对流扩散方程的数值流形格式。这一格式的关键在于利用物理覆盖函数，将其设定为完全一阶多项式，以此构建数值模型来处理对流和扩散现象。 作者首先通过理论分析，证明了当在一维定常无源对流扩散方程中，采用一阶多项式覆盖的流形格式时，其具有绝对的数值稳定性。他们通过对比该数值流形格式的解与一维对流扩散方程的有限元解以及精确解，证实了这种方法在稳定性上的有效性。 接着，研究者将这个数值流形格式扩展到了二维平行管道中的定常热对流扩散问题。实验结果显示，在较小的单元普朗克数（Pe）条件下，流形方法的解相对于有限元方法有显著的精度提升。然而，当单元尺度增大，即普朗克数（PP）增大时，尽管一阶多项式覆盖函数的标准流形格式仍然保持绝对稳定性，但其可能会出现明显的假扩散现象，导致数值解与实际结果之间的偏差增大。 因此，本文的研究对于理解和优化对流扩散方程的数值计算有着重要意义，特别是在解决复杂流动和传热问题时，流形方法可能提供更准确和高效的解决方案。同时，它也揭示了在实际应用中需要根据具体问题和参数选择合适的数值方法，以达到最佳的精度和稳定性平衡。这项工作对于数值分析领域，特别是在工程技术和数值计算方法的发展中，具有较高的学术价值。