数值分析实习：带双步位移的QR分解法求特征值

"这篇资源是关于数值分析课程的一个实习大作业，主要目的是使用带双步位移的QR分解法求解一个10x10矩阵的全部特征值和部分实特征值对应的特征向量。作业内容包括输入矩阵、拟上三角化、QR分解以及带双步位移的QR分解等步骤。提供的源代码包含了实现这些操作的函数，如creaA()用于生成矩阵，hess()用于拟上三角化，AQR()进行普通QR分解，QRmeth()和gauss()分别处理带双步位移的QR分解和求解特征向量。" 在数值分析中，特征值和特征向量是矩阵理论的重要组成部分，它们在众多科学和工程领域中有广泛应用，如数据处理、振动分析和控制理论等。此作业中提到的方法是求解这类问题的一种有效策略。 1. **矩阵的特征值与特征向量**：特征值λ和特征向量v满足矩阵方程Av = λv，其中A是给定的矩阵。在本例中，任务是找到矩阵的所有特征值和部分实特征值的特征向量。 2. **拟上三角化**：在进行QR分解之前，通常会先将矩阵进行拟上三角化，即将非对角线元素尽可能减小，这样可以简化后续的计算。在这个过程中，可能会用到高斯消元或Householder变换。 3. **QR分解**：QR分解是将一个矩阵A分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，即A = QR。这种分解在求解线性方程组、计算特征值等问题中非常有用。在本作业中，使用了AQR()函数进行普通QR分解。 4. **带双步位移的QR分解**：这是对常规QR分解的改进，特别是在求解特征值时，通过引入位移来加速收敛。在QRmeth()函数中，可能采用了双步位移的策略来更有效地逼近特征值。 5. **特征值求解**：对于实对称矩阵，QR分解可以直接给出特征值，但对于非对称矩阵，需要额外的步骤。在gauss()函数中，可能采用了Gauss-Jacobi迭代或者其他迭代方法来求解实特征值对应的特征向量。 6. **编程实现**：作业中提供的C语言源代码定义了一系列的函数，如creaA()生成矩阵，hess()进行拟上三角化，AQR()执行普通QR分解，QRmeth()进行带双步位移的QR分解，gauss()求解特征向量，以及其他辅助函数。这些函数共同构成了求解问题的完整流程。 通过这个实习作业，学生不仅可以深入理解数值分析中的重要概念，还能提高编程解决实际问题的能力。在实际应用中，类似的算法和技巧对于处理大型矩阵问题尤为关键。