矩阵分解与迭代求解：Cholesky与雅可比/高斯-赛德尔方法

本周的习题涵盖了基本数值计算中的几个核心概念和算法，包括矩阵分解、迭代方法以及正交矩阵的性质。首先，重点在于理解和应用Cholesky分解，这是一种特殊的矩阵分解，当一个正定对称或正定厄密矩阵可以表示为一个上三角矩阵与其转置的乘积时，我们就说它进行了Cholesky分解。在Matlab中，通过`chol`函数可以实现这种分解，对于正定矩阵的求解，利用分解后的上三角性和下三角性，可以分别采用前向替代法和反向替代法求解。 第二个任务要求编写代码实现雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代，这两种是常用的迭代方法用于求解线性方程组。给定的矩阵`A`被定义为单位矩阵的乘积形式，学生需要根据这个结构编写迭代算法，并与Matlab的内置求解函数结果进行比较，确保算法的精度达到预设阈值。 第三部分，涉及到的是一个特定的线性系统，其中矩阵的非零元素仅在主对角线和上一行的副对角线上，这启发了迭代公式的应用。学生需要编写程序实现这种迭代方法，并用给定的初始试探值求解方程组。 正交矩阵是另一个重要的概念，它满足`AA^T = I`，其中`A`是方阵，`I`是单位矩阵。习题中给出了两个矩阵`a`和`b`，要求验证它们是否为正交矩阵，这涉及到矩阵的转置和行列式的计算。 最后，习题中涉及的矩阵`A`被表示为两个矩阵`V`和`U`的差，进一步引出了一种递推关系。学生需要利用这些信息，设置迭代公式，解决与`U`和`b`相关的线性方程组。 这周的习题涵盖了矩阵分析、迭代方法、正交矩阵的性质以及数值求解技巧，旨在深化学生对这些基础概念的理解，并提升他们在Matlab环境下的编程和问题求解能力。