数值分析习题解答与插值多项式解析

"数值分析答案（李庆扬）" 在数值分析中，插值法是一种重要的数学工具，用于构造一个多项式函数，使得该函数在给定的离散点上与目标函数的值相匹配。本资源提供的答案涵盖了不同类型的插值方法，包括单项式基底、Lagrange插值和Newton基底。对于一个二次插值问题，无论使用哪种基底，最终都得到了相同的多项式表达式，证明了这三种方法的一致性。 1. 单项式基底插值：这种方法通过构建一个多项式，使其在给定的三个点上取特定值。通过设置线性系统并求解，可以得到插值多项式。在例子中，利用三个点(1,0)，(-1,-3)，(2,4)构建了二次插值多项式。 2. Lagrange插值：这种方法使用Lagrange基多项式，每个多项式对应一个插值点，其值在该点为1，在其他点为0。将这些多项式组合起来，形成满足所有点的插值多项式。同样，对于给定的三个点，求得的Lagrange插值多项式与单项式基底的结果相同。 3. Newton基底插值：也称为Newton差商插值，它使用节点的差商来构建多项式。在均差表的帮助下，我们可以构建出Newton插值多项式，这里也得到了与前两种方法一致的结果。 此外，资源中还涉及到解积分微分的问题。例如，在一个例子中，为了求解ex的近似值，使用了二次插值和截断误差的概念。通过设定截断误差不超过10^-6，计算出合适的步长h，以确保近似值的精度。 解线性方程的部分，涉及到了内积计算和最小二乘法。例如，通过计算离散内积，建立线性模型来描述物体直线运动的数据，从而求得运动方程。 在另一个问题中，讨论了Hermite插值，这是一种同时考虑函数值和导数值的插值方法。通过构建满足条件的Hermite多项式，可以找到适合给定数据点的插值表达式。 这个资源提供了数值分析中的关键概念和计算方法的详细解答，对学习和理解插值法、积分微分和线性方程的解法有着极大的帮助。