概率论与数理统计公式大全

"概率论与数理统计公式大全" 概率论与数理统计是研究随机现象的数学理论，广泛应用于各个科学领域。本资源提供了一系列关键的公式，涵盖了随机事件的概率计算、随机变量的分布以及相关特性。 一、随机事件与概率 1. 德摩根定律描述了事件的补集运算与逻辑关系，即对于任意两个事件A和B，有P(A' ∪ B') = P(A') + P(B') - P(A' ∩ B')，P(A' ∩ B') = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)。 2. 古典概型公式适用于等可能情形，P(E) = 情况数E的情形数 / 总情况数。 3. 几何概型公式，如在长度为μ的一维区间内发生的事件概率为P(E) = 长度E / μ。 4. 求逆公式，P(A') = 1 - P(A)，用于计算事件不发生的概率。 5. 加法和减法公式用于计算两个事件同时发生或不同时发生的概率。 6. 条件概率公式P(A|B) = P(AB) / P(B)，表示在已知B发生的情况下A发生的概率。 7. 全概率公式P(A) = ∑ P(A|Bi) * P(Bi)，用于计算未知条件下，通过已知条件下的概率来推算总体概率。 8. 贝叶斯公式P(Bi|A) = P(ABi) / P(A) = P(A|Bi) * P(Bi) / P(A)，也称为逆概率公式，用于更新先验概率得到后验概率。 二、随机变量及其分布 1. 分布函数F(x)定义了随机变量X落在(-∞, x]的概率。 2. 离散型随机变量的分布律列出所有可能取值及其概率，例如0-1分布、二项分布、泊松分布等。 3. 连续型随机变量由密度函数f(x)给出，例如均匀分布、指数分布和正态分布。 4. 随机变量函数Y=g(X)的分布分为离散型和连续型，离散型通过分布律，连续型可通过分布函数法或公式法计算。 三、多维随机变量及其分布 1. 离散型二维随机变量的分布律和边缘分布律描述了两个变量的关系及其独立性。 2. 连续型二维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数和条件概率密度函数描述了它们之间的关联。 3. 随机变量的独立性定义为：对于任何子集，X和Y的乘积概率等于各自概率的乘积。 4. 二维随机变量的函数分布，离散型和连续型分别有特定的计算方法。 四、随机变量的数字特征 1. 数学期望E(X)是随机变量的平均值，对于离散型随机变量，E(X) = ∑Xi*P(Xi)，对于连续型随机变量，E(X) = ∫xf(x)dx。 2. 方差Var(X)衡量随机变量偏离其期望的程度，Var(X) = E[(X-E(X))^2]。 3. 协方差Cov(X,Y)和相关系数ρ(X,Y)度量两个随机变量的线性关系，Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ_X * σ_Y)，其中σ_X和σ_Y分别为X和Y的标准差。 4. 均方误差MSE(Y|X)是预测值Y与实际值Y的平方差的期望，用于评估预测模型的性能。 以上内容仅是概率论与数理统计公式集锦的一部分，完整的学习涉及更多概念和应用，如大数定律、中心极限定理、假设检验等。深入理解并掌握这些公式和原理，对于数据分析、机器学习等领域至关重要。