仿射变换：图形二维与三维变换详解

第五章深入探讨了图形变换中的一个重要概念——仿射变换。仿射变换是图形学中一种基本的变换类型，它保留了平行线的性质，即经过变换后，平行线仍然保持平行，并且将有限点映射到有限点。这种变换包括平移、旋转、缩放、反射和错切等特殊形式。 5.3.7节具体介绍了坐标变换的形式，指出变换后的坐标是原坐标的线性函数，可以用一个矩阵（通常表示为T）来描述，该矩阵具有特定的结构，例如： \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] 其中，矩阵的元素a、b、c和d决定了坐标空间的不同变换效果。例如，当矩阵的主对角线元素a和d不全为零时，表示缩放；c和d非零则表示平移；当b和d相同时，代表旋转（绕原点进行）；如果b和d互为相反数，则反映关于x轴或y轴的反射；而当a和d互为倒数，且b=c=0时，表示中心缩放。 在变换的数学基础部分，涉及到了矢量的概念和操作。矢量是图形变换中的基本工具，包括矢量的和、点积、长度、单位矢量以及矢量的夹角。点积定义了两个矢量之间的投影关系，而叉积则用于计算垂直于两个矢量的新矢量，其模长和方向遵循右手系规则。矩阵在这里被用来表示这些矢量操作，通过矩阵加法和数乘运算，可以方便地进行大规模的向量变换。 矩阵的含义被进一步阐述，它是一个由m行n列的数组，每个元素aij都有特定的位置和含义。矩阵的运算是图形变换的核心，包括矩阵的加法和数乘，这对于组合不同的变换并理解它们如何影响图形至关重要。 仿射变换是图形学中的核心概念，通过矩阵运算，可以实现二维和三维图形的精确变换，这是计算机图形学中处理图形布局、动画和渲染的关键技术之一。理解并熟练运用仿射变换和相关数学工具，对于开发游戏引擎、图形设计软件以及各种视觉应用都至关重要。