离散时间信号处理：精度影响与序列分析

在数字信号处理的课程中，章节1.1主要介绍了离散时间信号的概念，它是连续时间信号经过等间隔采样得到的结果，自变量取离散值，而函数值是连续的。离散时间信号的表示方法包括公式表示法、图形表示法和集合符号表示。例如，单位抽样序列和单位阶跃序列是两种常见的离散时间序列。 单位抽样序列 \( \delta(n) \) 是一个特殊的序列，其定义为当 \( n = 0 \) 时，取值为1，其余为0，代表了一个在每个整数位置只有一个样本点的序列。其数学表达式为 \( \delta(n) = \begin{cases} 1, & \text{if } n = 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \)。 单位阶跃序列 \( u(n) \) 则表现为当 \( n \geq 0 \) 时，取值为1，表示信号在n=0处突然跃升。这种序列在信号处理中有重要应用，特别是在时序逻辑设计中。两个序列之间的关系可以通过移位操作来理解，比如 \( u(n-k) \) 可以通过将 \( u(n) \) 向右移 \( k \) 个位置来得到。 本章节还涉及到了离散时间系统的概念，包括线性、移不变、因果性和稳定性。对于线性移不变系统，如果其系数 \( a \) 小于1（例如，\( a=0.100 \)），意味着系统是稳定的，因为系统的极点位于单位圆内部。然而，当系统处理有限精度时，由于舍入误差，可能会出现死区现象，即输入信号接近零时，输出不会立即响应，这会影响系统的精确性。 此外，课程内容还包括了常系数线性差分方程的分析，以及如何通过迭代法求解单位抽样响应。对于连续时间信号，课程讨论了时域抽样和奈奎斯特抽样定理，这些理论在信号数字化过程中至关重要，抽样恢复则是将离散信号恢复为连续信号的过程。 这一部分着重于离散时间信号的理论基础，特别是信号的采样、序列的特性，以及与系统行为相关的概念，这些都是后续深入研究数字信号处理的基础。