图与补图特征值之和的界限：正则图特例

本文主要讨论了图论中的一个重要问题，即在n阶简单图G及其补图GC的特征值之和的界限。简单图G由n个顶点组成，其特征值λi(G)表示图G的谱理论中的重要量，反映了图的局部和全局结构。特征值之和的研究对于理解图的性质和复杂性具有重要意义。 首先，作者给出了两个关于图与其补图特征值之和的界限表达式： 1. 当i=1,2,...,n时，特征值之和的下界为 \( -\sqrt{2(n-1)(i-1)} - n - i + 1 \)，上界为 \( \sqrt{2(n-i)(n-1)} - i \)。这些界限表明，随着特征值i的增加，和的范围逐渐缩小。值得注意的是，这个下界只有当G为正则图（所有顶点度数相等）时才能达到。 2. 对于最大的特征值λ1(G)，与λ1(GC)的和有另一个界限，即 \( n-1 \leq \lambda_1(G) + \lambda_1(GC) \leq -1 + \sqrt{1+2n(n-1)} \)。这个表达式展示了λ1(G)与λ1(GC)之和的更精确的上下界关系，特别地，下界成立的条件同样限制在G是正则图的情况下。 论文的核心贡献在于提供了这些界限，并分析了它们的适用条件。正则图在图论中是一个特殊且重要的类别，因为这类图的特征值有特定的结构，这使得计算特征值之和的边界变得相对容易。这些结果不仅有助于我们理解图的特性，而且可能在谱理论、图算法设计以及网络科学等领域中有潜在的应用价值。 关键词包括“补图”、“特征值之和”、“上界”和“下界”，这些都是研究过程中关键的概念，表明了论文的核心关注点。同时，论文还被归类为0157，可能属于数学或计算机科学中的拓扑学或图论方向，进一步突出了其工程应用背景。 这篇论文为图的特征值分析提供了一个新的视角，通过求解和界限，可以更好地量化和比较不同图的特征，并对图的结构特性有更深入的理解。