非线性代数方程组反问题研究及优化算法

"该文主要讨论了一类非线性代数方程组在部分解已知情况下的反问题，即如何求解非齐次项和系数项。文章基于优化算法，提出了简便的计算公式，旨在解决数学物理方程正问题转化为非线性代数方程组后的反问题求解。" 在数学和物理学中，经常需要求解线性和非线性代数方程组。当涉及到实际应用，如地球物理、流体力学等领域，这些问题通常源于数学物理方程的数值化处理。正问题是指给定所有参数，求解方程组以获得未知变量的过程，而反问题则是在部分信息已知的情况下，逆向求解方程组的参数。 本文关注的是一类特殊的非线性代数方程组，其形式为 \( A(x)x = b \)，其中 \( A(x) \) 是依赖于变量 \( x \) 的系数矩阵，\( b \) 是非齐次项。如果部分解 \( z_1, z_2, ..., z_s \) 可以通过实验或测量得到，作者提出了一种方法来反演 \( b \) 和 \( A \) 的参数。 反演右端项 \( b \) 的关键是找到使目标函数 \( J(b) \) 达到极小值的 \( b \)。\( J(b) \) 定义为 \( (x_i - z_i)^2 \) 的加权平方和，其中 \( x \) 是 \( b \) 的函数。如果 \( b \) 使得 \( J(b) \) 极小，那么 \( b \) 就是反问题的解。直接法求解 \( minJ(b) \) 需要大量计算，尤其是当方程组规模较大时。因此，作者转向了采用解析法，利用梯度信息来求解。 引理1指出，对于方程组 \( A(x)x = b \) 的解 \( x \) 对 \( b_k \) 的偏导数满足特定关系。具体地，偏导数可以通过 \( A(x) \) 的列向量 \( a_t \) 和单位向量 \( e_k \) 的线性组合来表示。这个关系允许仅解一次正问题就得到任意点处 \( J(b) \) 的梯度 \( grad J(b) \)，从而减少了计算负担。 这篇论文提供了一个在部分解已知条件下的非线性代数方程组反问题的优化算法，对于解决实际问题具有一定的实用价值。通过引入优化方法，它降低了求解反问题所需的计算复杂性，特别是当处理大规模方程组时，这种方法可以显著提高效率。