图结构与应用：欧拉与哥尼斯堡七桥难题

第4章图结构及其应用算法是计算机科学与技术领域的重要章节，由张岩教授于2017年11月27日在哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院进行讲解。这一章主要探讨了图的概念、理论以及其在实际问题中的广泛应用。 图结构是一种非线性数据结构，它用于表示数据对象之间的复杂关系，这些关系可以是任意的，如连接、依赖或交互。图的核心概念包括顶点（代表数据对象）、边（连接顶点的关系）和路径（由一系列相邻边组成的序列）。理解图的定义及其相关术语，如无向图、有向图、简单图、连通图等，对于后续算法设计至关重要。 图的逻辑结构通常有两种主要存储方式：邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵是一个二维数组，通过行和列来表示顶点之间的连接情况；邻接表则使用链表或数组来存储每个顶点的邻接顶点，更节省空间且适合稀疏图。理解这两种存储方式有助于优化空间效率和算法性能。 在图的遍历方面，本章重点关注深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS），这两种算法分别用于探索图的节点并记录路径，它们是许多其他高级算法的基础，如拓扑排序和关键路径分析。 此外，图在实际问题中的应用广泛，包括但不限于： 1. **最小生成树**：利用Prim或Kruskal算法找出图中所有顶点的连接集合，使得边的总权重最小，形成一棵连通树。 2. **双连通性与强连通性**：判断图是否是双联通的（任意两个顶点都能通过边互相到达）或强连通的（存在一条从任何顶点到另一任何顶点的路径，同时反之亦然）。 3. **最短路径**：通过Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法寻找图中两点之间的最短路径，常用于网络路由和旅行商问题。 4. **拓扑排序**：用于有向无环图（DAG）的排序，确定任务执行的正确顺序，避免循环依赖。 5. **关键路径**：在项目管理中，识别完成项目所需的最长时间路径，帮助确定项目进度计划的关键因素。 通过对图结构及其应用算法的学习，学生不仅能深入理解数据结构，还能提升解决实际问题的能力，如网络分析、社交网络挖掘、图数据库等领域的技术挑战。