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胡军浩等: Markov 切换扩散过程的几乎处处渐近稳定性
3 几乎处处渐近稳定
本节假设 Markov 链 {Λ
t
}
t>0
的状态空间是有限的, 即 N < ∞.
定理 3.1 若假设 (H1) 和 (H2) 成立, 且
N
i=1
µ
i
β
i
< 0, (3.1)
那么, 方程 (2.1) 的解是几乎处处渐近稳定.
注 3.1 若条件 (3.1) 成立, 称方程 (2.1) 是 “平均” 吸引的
[14]
. 因此, 我们称条件 (3.1) 是 “平均
条件”. 另一方面, 在假设 (H2) 中, 值得指出的是, 对每一个 i ∈ S, β
i
不必一定是负数.
在证明之前, 需要给出非常重要的引理 (参见文献 [14, 命题 4.2]).
引理 3.1 对任意的 p > 0, 令
diag(β) := diag(β
1
, . . . , β
N
), Q
p
:= Q + p diag(β), η
p
:= − max
γ∈spec(Q
p
)
Reγ, (3.2)
其中 Q 是 Q-Markov 链 {Λ(t)}
t>0
的 Q- 矩阵, sp ec( Q
p
) 表示 Q
p
的谱. 在条件 (3.1) 下, 有
(i) 如果 max
i∈S
β
i
6 0, 则 η
p
> 0;
(ii) 对于 p < α, 其中 α ∈ (0, min
β
i
>0,i∈S
{−q
ii
/β
i
}) 且 max
i∈S
β
i
> 0, 则 η
p
> 0.
定理 3.1 的证明 令 Q
p,t
:= e
tQ
p
, 其中 Q
p
由 (3.2) 决定, 则 Q
p,t
的谱半经 Ria(Q
p,t
) 为 e
−η
p
.
由于 Q
p,t
所有的系数为正, 采用 Perron-Frobenius 定理 (参见文献 [21, 第 6 页]), −η
p
是 Q
p
简单特征
值. 而且我们注意到: e
−η
p
相对应 Q
p,t
的特征值也是 −η
p
相对应 Q
p
的特征值. 由 Perron-Frobenius
定理, 存在 −η
p
相对应 Q
p
的特征向量 ξ
(p)
= (ξ
(p)
1
, . . . , ξ
(p)
N
) ≫ 0. 利用上述引理 3.1, 存在 p
0
> 0, 使
得对任意的 0 < p < p
0
一定有 η
p
> 0. 下面证明过程中, 固定某个 p (0 < p 6 min{1, p
0
}) 且相应的特
征向量是 ξ
(p)
≫ 0, 那么,
Q
p
ξ
(p)
= −η
p
ξ
(p)
≪ 0. (3.3)
为了简单记号, 我们记 {X
t
(x
0
, i
0
)}
t>0
为 {X
t
}
t>0
. 由 Itˆo 公式, 可以计算
V
p
(X
t
)ξ
(p)
Λ
t
= V
p
(x
0
)ξ
(p)
i
0
+
t
0
{(L
(Λ
s
)
s
V
p
(X
s
))ξ
(p)
Λ
s
+ V
p
(X
s
)(Qξ
(p)
)(Λ
s
)}ds
+
t
0
ξ
(p)
Λ
s
⟨∇V
p
(X
s
), σ(X
s
, s, Λ
s
)dW
s
⟩
+
t
0
R
V
p
(X
s
){ξ
(p)
i
0
+h(Λ
s
,z)
− ξ
(p)
Λ
s
}
N(ds, dz)
=: J
1
(t) + J
2
(t) + J
3
(t) + J
4
(t),
其中 (Qξ
(p)
)(i), i ∈ S 表示向量 Qξ
(p)
的第 i 个分量, 且
N(dt, dz) := N(dt, dz) − dtdz. 从条件 (2.4)
和 (3.1) 以及 p ∈ (0, 1] 可以得到
J
2
(t) =
t
0
pV
p−1
(X
s
)(L
(Λ
s
)
s
V (X
s
))ξ
(p)
Λ
s
+ V
p
(X
s
)(Qξ
(p)
)(Λ
s
)
+
p(p −1)
2
V
p−2
(X
s
)|σ
T
(X
s
, s, Λ
s
)∇V (X
s
)|
2
ds
6
t
0
{pβ
Λ
s
ξ
(p)
Λ
s
+ (Qξ
(p)
)(Λ
s
)}V
p
(X
s
)ds
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