图论讲解：简单路径、连通性与拓扑排序

"这份英文教学课件主要涵盖了数据结构中的图（Graph）相关的概念，包括简单路径、连通性、图遍历、拓扑排序以及加权图等内容。" 在数据结构领域，图是一种非常重要的抽象数据类型，它由一组顶点（vertices）和连接这些顶点的边（edges）组成。在“19_Graph_02.pdf”这份文档中，重点讲解了以下几个关键知识点： 1. **简单路径（Simple Path）**：一个简单路径是一系列顶点的序列，其中任意两个相邻的顶点之间有一条边相连，并且路径中没有重复的顶点。例如，从Seattle到San Francisco再到Dallas的路径{SEA, SLC, DAL}是一个简单路径。 2. **连通性（Connectivity）**：在无向图中，如果图中任意两个顶点间都存在路径，则称图是连通的。连通性的研究有助于理解图的结构和分块。 3. **图遍历（Graph Traversals）**：图遍历是指按照特定顺序访问图中所有顶点的过程，常见的有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。这些方法常用于搜索问题、求解最短路径等。 4. **拓扑排序（Topological Sorting）**：对于有向无环图（DAG），拓扑排序是将所有顶点排成线性顺序，使得对于每一条有向边 (u, v)，都有 u 在排序序列中出现在 v 之前。这对于任务调度、依赖关系分析等问题非常有用。 5. **加权图（Weighted Graphs）**：加权图是每个边都有一个数值（权重或成本）的图。例如，交通网络中的路线图，每条边代表一段路程并附带时间和距离成本。计算最短路径时需要用到加权图的概念。 6. **路径长度和成本**：路径长度是路径中边的数量，而路径成本则是路径上所有边的成本之和。在加权图中，这两个概念常用于优化问题，比如寻找最低成本的旅行路线。 7. **简单路径与环（Simple Paths and Cycles）**：简单路径不包含重复顶点，而环是路径的起始和结束顶点相同且至少包含三个顶点的特殊路径。在某些应用中，如最小生成树算法，需要避免环的出现。 通过学习这些概念，不仅可以加深对数据结构的理解，也能为解决实际问题如网络路由、社交网络分析、物流优化等提供理论基础。同时，掌握这些知识也是计算机科学教育和面试中不可或缺的部分。