概率论与数理统计：随机变量的数学期望与性质

"第四章随机变量的数字特征习题课，涵盖了概率论与数理统计中的数学期望、方差、离散型和连续型随机变量的数字特征，以及相关系数等概念。" 在概率论中，随机变量的数字特征是用来描述随机现象平均行为的重要工具。这些特征帮助我们量化随机变量的中心趋势、分散程度和其他统计特性。 1. 数学期望（期望值）： 数学期望是随机变量所有可能取值与其概率乘积的总和，对于离散型随机变量X，其数学期望E(X)表示为： \[ E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k \] 其中，\( x_k \) 是随机变量X可能取的值，而 \( p_k \) 是对应的概率。如果这个级数绝对收敛，那么E(X)存在。 对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，其数学期望E(X)表示为： \[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \] 如果这个积分绝对收敛，E(X)就存在。 2. 方差： 方差是衡量随机变量分散程度的量，它描述了随机变量偏离其期望值的平方的平均值。离散型随机变量X的方差记为Var(X)： \[ Var(X) = E[(X - E(X))^2] \] 连续型随机变量X的方差为： \[ Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx \] 3. 协方差与相关系数： 协方差用于衡量两个随机变量X和Y的线性关系，记为Cov(X, Y)： \[ Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] \] 相关系数是协方差标准化后的结果，范围在-1到1之间，表示两个随机变量之间的相关程度： \[ corr(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} \] 当相关系数接近1时，表示正相关；接近-1时，表示负相关；接近0则表示不相关。 4. 随机变量函数的数学期望： 如果随机变量X的数学期望存在，那么任何关于X的函数g(X)的数学期望E[g(X)]也存在，可以按照以下方式计算： 对于离散型随机变量： \[ E[g(X)] = \sum_{k=1}^{\infty} g(x_k) p_k \] 对于连续型随机变量： \[ E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx \] 5. 数学期望的性质： - 定义中的常数乘积规则：\( E(C) = C \)，\( E(CX) = CE(X) \)。 - 如果X和Y是两个随机变量，那么有线性规则：\( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \)。 - 若X和Y相互独立，那么有乘积期望规则：\( E(XY) = E(X)E(Y) \)。 这些知识点在概率论与数理统计的学习中至关重要，不仅用于理论分析，也在实际应用如风险评估、统计推断等领域发挥着重要作用。通过解决习题和深入理解这些概念，可以提高对随机过程的理解和处理能力。