SVM线性与非线性分类的优化推导

"SVM原理推导，涉及线性可分数据集、最优超平面、支持向量、距离最大化、二次规划、凸优化、核函数等概念。" 支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种二分类模型，其基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器。SVM的核心思想是找到一个能够将不同类别的数据最大程度地分离的超平面。在本推导中，我们将深入理解这一过程。 首先，我们需要明确目标：寻找一个最佳的超平面，能够将两类数据有效地分隔开来。在线性可分数据集上，这意味着存在一个超平面，使得所有样本点都能被正确分类。超平面可以表示为 \( w \cdot x + b = 0 \)，其中 \( w \) 是决策向量，\( x \) 是特征向量，\( b \) 是偏置项。 线性可分数据集是指对于每一个样本点 \( (X_i, Y_i) \)，存在权重向量 \( w \) 和偏置项 \( b \)，使得类别标签 \( Y_i \) 与 \( w \cdot X_i + b \) 的符号一致，即 \( Y_i(w \cdot X_i + b) \geq 0 \)。 接下来，我们要确定如何定义“最佳”超平面。最佳超平面通常是指距离各类别样本点最近的距离最大化的超平面，这个距离称为间隔（margin）。间隔的数学表达式为 \( \frac{1}{||w||} \)。因此，我们的优化目标是最小化 \( ||w||^2 \)，这将最大化间隔，使超平面更不易受噪声影响。 为了确保所有样本点都满足间隔最大化，我们引入了约束条件 \( Y_i(w \cdot X_i + b) \geq 1 \)（对于支持向量而言，这是等号成立的情况）。这些样本点就是支持向量，它们离超平面最近，对模型的构建至关重要。 在数学上，SVM的优化问题可以表述为一个凸二次规划问题，这是因为目标函数是二次的，而约束条件是一次的。在凸优化问题中，局部最优解就是全局最优解，这意味着SVM总能找到一个全局最优的超平面。 然而，实际问题中数据往往是非线性可分的。为了解决这个问题，SVM引入了核函数（Kernel Trick）。核函数能够将原始数据映射到高维空间，使得在高维空间中的数据更容易线性可分。常见的核函数有线性核、多项式核、高斯核（RBF）等。 在非线性情况下，优化目标函数会变为带有松弛变量 \( \xi_i \) 的形式，它允许数据点在一定程度上违反约束条件，同时引入正则项 \( C \) 来控制误分类的惩罚程度。优化问题变为： 最小化：\( \frac{1}{2}||w||^2 + C \sum_{i=1}^{N}\xi_i \) 限制条件：\( Y_i(w \cdot X_i + b) - \xi_i \geq 1 \)，\( \xi_i \geq 0 \) 通过这种方式，SVM能够处理非线性问题，并找到一个在高维空间中最大化间隔的最优超平面。核函数的选择和参数调整对于SVM的性能至关重要，需要根据具体问题来选择合适的核函数和调整正则化参数 \( C \)。 总结来说，SVM通过寻找最大间隔的超平面来实现二分类，利用凸优化和二次规划确保找到全局最优解。在非线性场景下，通过核函数映射数据至高维空间，使得原本难以线性分割的数据变得易于处理。通过理解和掌握这些原理，我们可以更好地应用和支持向量机在实际的机器学习任务中。