理解EM算法：从概念到应用

"这篇文档是关于EM算法的详细介绍，作者XiaoHan，源自HPLabs。文档中通过预备知识如概率论、求导等基础知识，引入了EM算法在解决混合高斯模型参数估计问题中的应用。EM算法常用于处理含有隐含变量（latent variable）的数据集，比如这里的隐藏变量Z，它对应于数据点x所属的高斯分布。" EM算法，全称Expectation-Maximization（期望-最大化）算法，是一种迭代方法，用于估计数据模型的参数，特别是在存在未观测到的隐含变量时。在这个案例中，问题源于对混合高斯分布的参数估计，混合高斯分布是一种概率模型，用于描述数据可能来自多个高斯分布的情况。 混合高斯模型（GMM，Gaussian Mixture Model）的参数包括混合系数π，均值μ和协方差Σ。在EM算法中，目标是找到这些参数的最佳估计，使得数据点x的概率最大化。由于数据集中每个样本x对应的隐含变量z（表示样本所属的高斯分布）是未知的，因此直接最大化似然函数很困难。 EM算法通过交替进行两步来逐步优化参数：E步骤（期望步骤）和M步骤（最大化步骤）。在E步骤中，假定当前参数条件下，计算每个样本属于每个高斯分布的概率，即后验概率p(z|x)。在M步骤中，利用这些后验概率来更新模型参数，以最大化在已知z的条件下，观察数据集的对数似然函数。 文档中通过图示直观地展示了混合高斯模型的结构，以及在有和无隐含变量情况下问题的区别。对于含有隐含变量的实际问题，文档提出了使用1-of-K编码方式表示隐含变量Z，即每个样本只能属于一个高斯分布，而对应的概率由混合系数π决定。 通过引入Z，混合高斯模型的联合概率密度函数变为p(x, z)，其中z是一个二进制向量，表示样本x属于哪个高斯分布。最后，文档指出在EM算法中，所有观察值之间被视为独立，这是模型的基本假设。 总结来说，EM算法是解决含有隐含变量的统计建模问题的一种有效工具，尤其在处理混合高斯模型时。通过E步骤和M步骤的迭代，EM算法能够逐步提高模型对数据的拟合程度，从而估计出更准确的模型参数。这一过程对于理解复杂数据分布，尤其是在机器学习和统计学领域，具有重要的理论和实践意义。