"计算机辅助几何设计中的自由曲线与自由曲面构建技术探析"

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算机辅助几何设计是一门关于如何利用计算机辅助技术来进行曲线和曲面设计的学科。在CAD中,由已知的数学方程生成的曲线曲面称为规则曲线曲面,常用隐函数或二次方程的显函数表示。然而,在产品设计中,存在大量不能用二次曲面描述的曲线曲面,这类曲线曲面称为自由曲线和自由曲面。 自由曲线可以由一系列的小曲线段连接而成,自由曲面可以由无数个小的曲面片拼合而成。因此,曲线曲面的研究重点在于曲线段或曲面片的描述及其连接拼合方法。在自由曲线和曲面描述中常用三种类型的点:特征点(控制顶点)、型值点和约束点。特征点用于确定曲线曲面的形状位置,但曲线或曲面不一定经过该点;型值点用于确定曲线或曲面的位置与形状并且经过该点;约束点则用于确定曲线或曲面的特定特性。 在曲线曲面设计中,通常使用一组离散的型值点或特征点来定义和构造几何形状,并且所构造的曲线曲面应满足光顺的要求。曲线曲面定义的主要方法包括插值和逼近。插值指给定一组精确的数值点,要求构造一个函数,使之严格地依次通过全部型值点,并且满足光顺的要求;逼近则是对于一组给定的控制顶点,要求构造一个函数,使之在整体上最接近这些控制点而不一定通过这些点。此外,曲线曲面的光滑和光顺也是设计中非常重要的观点,光滑表示曲线或曲面具有至少一阶连续导数,而光顺则是一个模糊的概念,仍缺乏统一的标准,但具有一些客观标准及处理方法。 计算机辅助几何设计中,自由曲线和曲面的描述原理包括Hermite曲线、Bezier曲线、B样条曲线、非均匀有理B样条(NURBS)曲线等方法。这些方法能够有效地帮助设计师在产品设计中创造出符合要求的复杂曲线曲面。通过CAD软件中的这些设计原理和方法,设计师可以更加高效地进行产品设计工作,提高设计的精度和质量。随着计算机技术的不断发展和CAD软件的不断完善,计算机辅助几何设计在工业设计、建筑设计、航空航天领域等方面都扮演着重要的角色,为设计师们提供了更多可能性和创造空间。
2023-05-28 上传
CAD中由已知曲线或曲面的数学方程生成的曲线曲面称为规则曲线曲面,常用隐函数或二次方程的显函数表示。但在汽车、轮船、飞机、模具、艺术品等产品设计中,存在大量的不能用二次曲面描述的曲线曲面,这类曲线曲面称为自由曲线(Free Form Curves)和自由曲面(Free Form Surfaces),这是计算机辅助几何设计研究的主要几何形状。 5.1 自由曲线 5.1.1 曲线曲面描述的基本原理 5.1.2 Hermite曲线 5.1.3 Bezier曲线 5.1.4 B样条曲线 5.1.5 非均匀有理B样条(NURBS)曲线 5.1.1 曲线曲面描述的基本原理 自由曲线可以是由一系列的小曲线段连接而成,自由曲面可以是由无数个小的曲面片拼合而成。因此,曲线曲面的研究重点是曲线段或曲面片的描述及其连接拼合方法。 1. 几何设计的基本概念 在自由曲线和曲面描述中常用三种类型的点: (1)特征点(控制顶点):用来确定曲线曲面的形状位置,但曲线或曲面不一定经过该点。 (2) 型值点:用于确定曲线或曲面的位置与形状并且经过该点。 在曲线曲面设计中,通常是用一组离散的型值点或特征点来定义和构造几何形状,并且所构造的曲线曲面应满足光顺的要求。这种曲线曲面定义的主要方法是插值和逼近。 (1)插值:给定一组精确的数值点,要求构造一个函数,使之严格地依次通过全部型值点,且满足光顺的要求。 (2)逼近:对于一组给定的控制顶点,要求构造一个函数,使之在整体上最接近这些控制点而不一定通过这些点。 (3)光滑(smooth):从数学意义上讲,光滑是指曲线或曲面具有至少一阶连续导数。 (4)光顺(fair):至今仍是一个模糊的概念,尚无统一的标准。一方面有主观的因素,另一方面与应用背景相关。但仍有一些客观标准及处理方法。 曲线曲面可以用隐函数、显函数或参数方程表示。用隐函数表示不直观,作图不方便(如ax+by+c=0);用显函数表示存在多值性(如x2+y2=r2)和斜率无穷大(如y=mx+b)等问题。此外,隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线曲面。 自由曲线曲面多用参数方程表示,相应地称为参数曲线或参数曲面。 空间的一条曲线可以表示成随参数t变化的运动点的轨迹,其矢量函数为: P(t)=P(x(t),y(t),z(t)) , t 的范围是 [0,1] 同理,空间中的一张曲面可用参数(u,v)表示为: P(u,v)=P( x(u,v),y(u,v),z(u,v)) , (u,v) 的范围是 [0,1]×[0,1] 2. 曲线曲面的数学描述方法 用参数表示曲线曲面的优点: (1)具有几何不变性。某些几何性质不随一定的坐标变换而变化的性质称为几何不变性。曲线形状本质上与坐标系的选取无关。 (2)可以处理无穷大的斜率。dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) (3) 参数方程将自变量和因变量完全分开,使得参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来。 (4)可以处理多值曲线。 (5)规格化参数变量,使其相应的几何分量是有界的。 由于参数限制在0到1的闭区间之内,因而所表示的曲线总是有界的,不需另设其他数据来定义其边界。 (6)对曲线曲面形状控制的自由度更大。如一条二维三次曲线的显式表示为: (7) 易于用矢量和矩阵表示几何量,从而简化了计算。 其中只有4个系数可控制曲线的形状,而对于其参数表示为: 其中有8个系数可用来控制曲线的形状。 5.1.2 Hermite曲线 Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以及两端点处的切线矢量来描述曲线。空间一条三次参数曲线可以表示为: 该曲线的矢量表达式为: 应用端点P0和P1,以及端点切矢P0'和P1',可得: 矩阵表达式为 : 于是, 5.1.3 Bezier曲线 1962年,Bezier提出了一种自由曲线曲面的设计方法,称为Bezier方法。其具体设计过程是: 从模型或手绘草图上取得数据后,用绘图工具绘出曲线图,然后从这张图上大致定出Bezier特征多边形各控制顶点的坐标值,并输入计算机进行交互的几何设计,调整特征多边形顶点的位置,直到得出满意的结果为止;最后用绘图机绘出曲线样图。 1. Bezier曲线定义 在空间给定n+1个控制顶点Pi(I=0,1,…,n),称下列 参数曲线为n次Bezier曲线。 称为伯恩斯坦基函数(Bernstein Basis)。 一般称折线 为P(t)的控制多边形;称 各点为P(t)的控制顶点。 (1)三次Bezier曲线 常用 的三次Bezier曲线,由4个控制顶点确定。容易算出,与其对应的4个Bernstein基函数为: 相应的Bezier 曲线为 (2)二次Bezier曲线 二次Bezier曲线由三个控制顶点确定,此时,相应的曲线表达式为 对应于一条抛物线。 (3)一次Bezie