Baxter Q算子相关渐近杨-贝塔方程的q振荡子解与超代数表示

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本文主要探讨了与Baxter Q算子相关的渐近Yang-Baxter方程在量子仿射超代数Uq( gl^(M | N))的Borel次代数背景下的一系列理论发现。作者Zengo Tsuboi在Humboldt-Universität zu Berlin的研究中，专注于一种特殊的渐近表示，该表示通过Drinfeld的有理分数来刻画。这种表示聚焦于FRT公式中Uq(gl(M | N))的收缩，这使得能够利用q-振动子超代数工具，找到分级Yang-Baxter方程的显式解。这些解与Baxter Q算子的L算子相对应，L算子在量子计算和统计力学中的重要性不言而喻，它们是解决量子多体问题的关键。文章深入研究了Borel子代数一侧的正规化生成器的作用，探讨了这些表示如何扩展到Uq( gl^(M | N))的收缩代数。在这里，Q算子被定义为通用R矩阵的超迹，这是一种在量子信息处理中常见的工具，它允许在特定情况下进行高效的量子操作。作者将之前对Uq(sl^(2 | 1))的研究成果作为基础，进一步发展了一套通用的T运算符，这些运算符基于超级字符上的移位运算符构建。T和Q函数的Wronskian式在这里得到了具体的算子实现，这对于理解和控制量子系统的动态行为具有重要意义。整个研究不仅深化了对量子仿射超代数的理解，而且为理论物理学家提供了一个新的工具包，特别是在研究量子场论、量子统计力学和量子信息科学等领域。论文的开放获取性质使其能够广泛地被学术界所利用，促进了知识的传播和交流。这篇论文发表在2014年的《核物理学B》杂志上，收录在Elsevier的科学数据库中，为后续的研究者提供了宝贵的参考资料。

6 Z. Tsuboi / Nuclear Physics B 886 (2014) 1–30

where (d

)

1≤i,j≤M+N −1

is the inverse of the Cartan matrix (a

)

1≤i,j≤M+N −1

of sl(M|N). In

case this Cartan matrix is degenerated (M = N), we have to consider an extended matrix

and

take the inverse of it [27]. Here

R is the reduced universal R-matrix, which is a series in e

⊗

1 and 1 ⊗ f

and does not contain Cartan elements. Thus the reduced universal R-matrix is

unchanged under the shift automorphism (2.15), while the pre-factor of the universal R-matrix

(2.18) is shifted as

K → K +

M+N −1



i,j=1

(1 ⊗ h

), (2.19)

where we considered a shift on B

2.2. The quantum superalgebra U

(gl(M|N))

There is a (ﬁnite) quantum superalgebra U

(gl(M|N)), which is generated by the elements

}

M+N

i,j=1

. We assign the parity of these generators as p(e

) = p(i) + p(j) mod 2. Let us intro-

duce the notations: e

= e

i,i+1

, e

−α

= e

i+1,i

for i ∈{1, 2, ..., M + N − 1}. Then the deﬁning

relations of U

(gl(M|N)) (for the distinguished simple root system) are (cf. [27])

]=0, [e

±α

]=±(δ

i,j

− δ

i,j+1

±α

−α

]=(−1)

p(i)

(−1)

p(i)

−(−1)

p(i+1)

i+1,i+1

− q

−(−1)

p(i)

+(−1)

p(i+1)

i+1,i+1

q − q

−1

]=[e

−α

]=0for|i − j |≥2,



, [e

]



−1



−α

, [e

−α

]

−1



= 0for|i − j |=1 and p(e

±α

) = 0,

±α

)

= 0forp(e

±α

) = 1,



M+1

, [e

M−1

]

−1





−α



−α

M+1

, [e

−α

M−1

]



−1



= 0

for p(e

±α

) = 1. (2.20)

The other elements are deﬁned by

=[e

]

(−1)

p(k)

for i>k>j,

=[e

]

−(−1)

p(k)

for i<k<j. (2.21)

The other relations can also be obtain by (3.23)–(3.25) and (A.1)–(A.15). Let E

be a (M + N) ×

(M + N) matrix unit whose (k, l)-element is δ

i,k

j,l

. π(e

) = E

gives the fundamental repre-

sentation of U

(gl(M|N)). There is an evaluation map

: U

(

sl(M|N)) → U

(gl(M|N)):

→ xq

−(−1)

p(1)

M+N,1

−(−1)

p(M+N)

M+N,M+N

→ (−1)

p(M+N)

−1

(−1)

p(M+N)

M+N,M+N

1,M+N

(−1)

p(1)

1,1

This may be achieved by adding an extra Cartan element



M+N

j=1

(−1)

p(j)

to U

(

sl(M|N)). Here k

are Cartan

elements of U

(

gl(M|N)), which we will introduce later.

The last two relations [e

±α

, [e

±α

M+1

, [e

±α

, e

±α

M−1

]

∓1

]

±1

] = 0are equivalent to

[[e

±α

, e

±α

M−1

]

∓1

, [e

, e

M+1

]

±1

] = 0 under the condition (e

±α

)

= 0.

M = N = 1 case is special since (2.22) does not satisfy (2.3) for (i, j) = (0, 1), (1, 0), in general.

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