动态规划解决硬木地板铺砖问题

"硬木地板-状态压缩类型动态规划" 这篇内容主要探讨了一个使用动态规划解决的编程问题，问题设定是在一个M×N的矩形地板上，使用两种形状的地板砖来完全覆盖整个区域：2×1的矩形砖和2×2中缺少一个1×1角形的砖。目标是计算出所有可能的不同铺砖方案数量。题目明确指出，M和N的取值范围在1到9之间，且地板砖的数量是充足的，不允许有重叠的情况。 首先，我们分析这个问题。如果M和N都是奇数，由于每个砖块的覆盖面积是偶数，所以无法用这两种砖铺满奇数面积的地板，因此此时无解。反之，如果M和N至少有一个是偶数，那么总可以找到一种铺法使得总面积为偶数，从而能够铺满整个地板。 接下来，我们注意到每次铺设1×2的砖块时，只会对当前行以及下一行产生影响。这意味着每行的铺砖方式独立于其它行，只要考虑上下两行的交互即可。此外，每行的铺砖状态可以由一个长度为W的二进制字符串表示，其中1代表已铺砖，0代表未铺砖。 为了利用动态规划解决这个问题，我们可以定义一个函数f(i, s)，表示铺到第i行，当前状态为s的方案数。初始状态是第一行，我们可以假设只有一个状态（所有位置都未铺砖），即f(1, 0) = 1。最终答案将是最后一行所有可能状态的方案数之和，即f[h+1][0]，其中h是地板的行数。 对于动态规划的状态转移，我们可以观察到，对于第i行，每种状态s可以通过上一行的两种状态转移而来，这对应于1×2砖块的两种放置方式。我们可以使用位操作来高效地计算这些转换。例如，从状态s转移到新的状态s'，可以通过将s的某些位设置为1来实现，这对应于放置砖块覆盖了那些原本为0的位置。 时间复杂度为O(h * 2^W)，因为每一行有2^W种可能的状态，而我们要遍历h行。这个复杂度在M和N不超过9的情况下是可行的，因为即使是最坏的情况，空间和时间的需求也在可接受的范围内。 这是一个典型的动态规划问题，通过状态压缩和位操作优化，有效地解决了在有限的二维空间内用特定形状的砖块铺满地板的计数问题。这个问题常见于ACM/ICPC等算法竞赛中，旨在考察参赛者对动态规划的理解和应用能力，以及在空间和时间效率上的优化技巧。