加权广义逆在不定最小二乘问题扰动分析中的应用

"广义不定最小二乘问题的扰动分析 (2009年) - 王茜 - 华东师范大学学报(自然科学版)" 本文由王茜发表于2009年7月的《华东师范大学学报(自然科学版)》第四期，主要探讨了广义不定最小二乘问题（ILSQ）以及等式约束下的不定最小二乘问题（ILSQE）。文章的核心是定义了一种新的加权广义逆方法，用于深入研究这两个数学优化问题。 在数值分析和统计建模中，最小二乘问题是寻找一个向量或矩阵，使得该向量或矩阵与一组数据之间的残差平方和最小。然而，在实际应用中，问题可能会变得"不定"，即目标函数的系数矩阵可能非对称或者奇异，这就引出了不定最小二乘问题。对于这类问题，传统的最小二乘解法不再适用，需要采用广义逆来处理。 王茜提出的新加权广义逆方法为解决不定最小二乘问题提供了一个新途径。通过这个方法，可以更有效地处理那些非对称或奇异矩阵，从而找到更合适的解决方案。此外，论文还引入了矩阵的双曲QR分解技术，这是一种扩展自经典QR分解的算法，特别适合处理非对称矩阵，能够帮助获得ILSQ和ILSQE问题的解的形式表达。 扰动分析是研究系统对小变化（扰动）的敏感性的方法，对于理解和估计解的稳定性至关重要。在本文中，作者利用双曲QR分解，推导出了解的扰动界，这为理解和评估这两个问题的解在数据微小变化时的稳定性提供了理论依据。扰动界的计算对于实际应用中数据可能存在噪声或误差的情况尤其有价值，因为它可以帮助确定解的可靠性。 关键词：扰动分析、不定最小二乘问题、等式约束不定最小二乘问题、加权广义逆，这些关键词突显了文章研究的重点，即如何在有约束条件下，通过新的数学工具来处理具有不确定性的优化问题，并对其解决方案的稳定性进行定量分析。 这篇论文对于理解和解决那些系数矩阵非对称或奇异的最小二乘问题提供了新的理论框架和实用工具，对于从事数值计算、统计建模、数据分析等相关领域的研究者和工程师具有重要的参考价值。