马尔可夫链与MCMC采样算法解析

"该资源是关于马尔可夫过程和采样算法的讲解，主要涉及马尔可夫链、吉布斯采样以及MCMC算法。" 马尔可夫过程是一个重要的数学模型，用于描述系统状态随时间演变的行为。在马尔可夫过程中，当前状态完全决定了未来状态的概率分布，而与过去的状态无关，这一特性被称为无后效性或马尔可夫性。以天气预报为例，如果今天是晴天，那么预测明天的天气只需考虑今天的情况，而无需知道前天或更早的天气。 马尔可夫链是马尔可夫过程的一种具体实现，它定义了一组状态和这些状态之间转移的概率。例如，假设我们有三个状态：晴天、多云和雨天，每个状态都有一定的概率转移到其他状态。转移概率矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率，如一步转移概率矩阵显示了当前状态到下一状态的概率。 齐次马尔可夫链意味着转移概率不随时间变化，即在任意两个时间点之间的转移概率是恒定的。在这种情况下，如果我们知道系统当前的状态，那么无论过去的历史如何，我们都可以预测未来的状态分布。 马尔科夫链的遍历性和极限分布是其核心特性之一。遍历性意味着无论初始状态如何，经过足够多的时间步，状态分布将收敛到一个固定的分布，即平稳分布。平稳分布是马尔科夫链在长时间运行后达到的平衡状态，其中所有状态的概率保持不变。 MCMC（Markov Chain Monte Carlo）算法是一种在复杂概率分布上进行采样的方法，尤其适用于计算概率高且难以直接采样的情况。在这个过程中，我们通过构建一个马尔可夫链，使得其平稳分布恰好是我们感兴趣的概率分布。初始状态随机选取，然后按照转移矩阵迭代更新状态，最终得到的样本序列可以近似代表目标分布。 吉布斯采样是MCMC的一种特殊形式，常用于高维概率分布的采样。在吉布斯采样中，不是直接替换整个状态向量，而是逐个更新向量中的元素，每次更新时考虑到其他所有元素的状态，这样可以保证采样过程符合目标分布。 马尔可夫过程和MCMC算法在统计建模、机器学习、物理模拟等多个领域有着广泛的应用，如天气预报、人口动态模拟、图像处理等。通过理解和应用这些概念，我们可以更好地理解和模拟复杂系统的动态行为。