数值积分方法：牛顿-柯特斯公式与高斯求积

"第十讲数值积分 - 数值积分_算法" 在数学领域，数值积分是一种用于估算函数在一定区间上的定积分的方法，特别是在被积函数没有封闭形式的原函数或者原函数难以求解的情况下。本讲主要围绕数值积分展开，讨论了多种数值积分的求积公式及其代数精度。 首先，求积公式是数值积分的基础，它通过在区间[a, b]内选取特定的节点，用这些节点处函数值的加权和来近似积分。代数精度是指一个求积公式能精确计算的最高次多项式的积分，即对于所有次低于或等于该精度的多项式，求积公式的结果与真实积分值相同。 牛顿-柯特斯公式是数值积分的一种经典方法，包括了简单的梯形公式、辛普森公式以及它们的复化形式。这些公式通过不同的节点分布和权重来逼近被积函数。例如，梯形公式是基于两端点和中间点的函数值，而辛普森公式则加入了三个节点，利用二次插值进行更精确的逼近。 复化求积公式是在原有公式的基础上增加节点数量，从而提高精度。例如，复化梯形公式和复化辛普森公式，它们通过更多的等距节点来构建更复杂的多项式插值。 龙贝格公式（Romberg's method）是一种迭代技术，结合梯形规则，通过提高阶数并进行误差估计来逐步提高积分的精度。它特别适用于处理有光滑变化的函数。 高斯型求积公式，如 Legendre-Gauss 公式，是数值积分中的高效工具，它们利用正交多项式理论，选择特定的节点（高斯点）和权重，以达到很高的代数精度，甚至可以精确积分某些类型的函数。 数值求积的基本思想源自积分中值定理，即通过构造一系列矩形，其面积之和近似曲边梯形的面积。具体而言，选择n个内部节点x_k (k=0,1,...,n)，利用函数在这些点的值f(x_k)，通过加权求和形成平均高度，形成求积公式。其中，x_k是求积节点，A_k是求积系数，也被称为伴随节点的权。 定积分的一般形式是一个极限过程，即将分割、近似、求和和取极限四个步骤结合。分割是将区间[a, b]分成n个小区间，近似是用每个小区间的矩形面积代替曲边梯形面积，求和是将所有矩形面积相加，最后取极限得到积分的真实值。 矩形公式是数值积分中最直观的形式，通过在积分区间的端点附近对函数进行泰勒展开，然后用简单的矩形面积来近似曲边梯形的面积。当函数在[a, b]上连续时，这种方法可以提供一个近似的积分结果。 总结来说，数值积分是解决实际问题中遇到的积分计算问题的重要工具，它包括多种公式和方法，每种都有其适用的场景和优势。理解和掌握这些方法，能够帮助我们更准确地估算那些难以解析求解的积分。